Discuter:Dernier théorème de Fermat

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Ce serait bien de publier ici la démonstration erronée de Fermat.

Certains disent qu'il n'a pas rédigé de démonstration. Mais s'il en a rédigé une (ce qu'il ne faut pas exclure), on ne l'a pas retrouvée.--Greguar 20 mar 2005 à 16:58 (CET)

L'ajout de la catégorie conjecture peut elle se faire ?

Il y a déjà une catégorie conjecture. Mais peut-être n'ai-je pas compris la question. Peut-être demandais-tu s'il serait pertinent de mettre cet article dans cette catégorie. Je pense que la réponse est non, vu que ce théorème est maintenant démontré, et donc n'est plus une conjecture. --Ąļḋøø 3 déc 2004 à 16:33 (CET)

Sommaire

[modifier] théorème de fermat

Aucun mathématicien à part P de Fermat, n'a étudié les deux démonstrations élémentaires du cas N = 4 à savoir: a) dans un Triplet pythagoricien primitif, si Z est un carré, alors Y ne peut en être un d'où: X^4 + Y^4 = Z^4 n'a de solution! b)si Z est un carré alors X ne peut en être un;d'où: X^4 + Y^4 = Z^4 n'a de solution!

les seules démos qui sont connues et qui ont été étudiées; l'absence de surface carrée dans un triangle rectangle et: si X est un carré alors Y ne peut en être un, d'où X^4 + Y^4 = Z² n'a de solution et a plus forte raison aussi pour Z^4.

Or Fermat a utilisé pour résoudre son théorème, les deux premières a) et b)!celle qui justement n'ont jamais été étudiées ni même découverte,par tous les détracteurs, ce qui aurait permis de ne pas attendre plus de 350 ans d'histoire et de ne pas utiliser sa méthode de descente infinie pour résoudre cas par cas; ce qui est impossible! Ce que lui savait parfaitement!

la démo a) se démontre avec la propriété du théorème de Pythaghore ainsi que pour la démo b)mais avec en plus, l'utilisation de la formule des triplets Pythagoriciens. Si dans un triplet pythagoricien,Z et Y étaient deux carrés, alors le Théorème de pythagore ne voudrait plus rien direc'est la démonstration la plus élémentaire du cas N = 4, par l'absurde, en deux lignes!

Il faut démontrer le cas N = 4,puis 6 ce qui démontre de façon générale l'absence de solution dans les puissances paires; puis l'absence de Tiplets primitifs avec des nombres positifs mais non entiers d'où X² + Y² = Z² n'a de solution le contraire indiquerait que : X² + y² = z² mais aussi X² - y² = z², ce qui est absurde...!

L.G

pour L.G.: je crains que vous ne fassiez fausse route... D'une part, n=4 est résolu depuis ... Frenicle (1672, de mémoire) (voir plus bas) et il n'est nul besoin alors de n=6 qui n'apporte rien, d'autre part, je ne saurai donner de sens au reste. Désolé je ne comprends pas ce que signifie "le théorème de pythagore ne voudrait plus rien dire", ...Claudeh5 21 juillet 2006 à 22:44 (CEST)

Il y a plusieurs points à préciser: Fermat, né en 1601, vit à une époque où les sciences sont encore naissantes. Il n'y a pas de journal mathématique où publier ses résultats, l'académie des sciences n'est pas crée avant la mort de Fermat en 1665, ... donc la majorité des résultats sont communiqués au travers de correspondances, et parfois dans la publication d'un traité ou d'un mémoire. Il faut lire là-dessus le Commercium epistolicum de Wallis (qui débute en 1658) bientôt suivi par le Commercium epistolicum de Colins (1712). Fermat ne semble avoir publié qu'un seul mémoire de son vivant sur les minimis et maximis dans laquelle on reconnait les début de l'analyse mathématique. il est connu pour son différend avec Descartes sur les lois de l'optique, Descartes prétendant contre toute logique que plus le milieu est réfringent, plus la vitesse de la lumière est élevée. C'est Fermat qui expliquera tout à la fois l'erreur de Descartes et d'autre part que les deux hypothèses (minimum et maximum) conduisent aux lois de l'optique géométrique de Snell-Descartes. Quand Fermat meurt, au début de 1665, son fils va chercher à rassembler les lettres écrites par son père pour les publier mais va se heurter à des difficultés. Les correspondants de Fermat vont refuser de les restituer ou vont faire beaucoup de difficultés. Ont-ils voulu conserver les idées de Fermat écrites dans ces lettres pour leur propre compte en se les appropriant ? Toujours est-il que les découvertes n'ont pas été publiées de son vivant et que ses méthodes sont pour la plupart inconnues. Si les démonstrations ne sont pas connues, cependant les énoncés eux le sont, soit sous forme de défis posés à ses contemporains, soit par lma publication posthume de ses lettres (voir ici la publication de Tannery et Henry des oeuvres de Fermat en 5 tomes. Le petit théorème de Fermat est ainsi démontré par Euler. Le cas n=4 du grand théorème a été publiée par Frenicle d'après une idée de Fermat, celle de la descente infinie (une démonstration par récurrence à l'envers)... Bref, je trouve que le terme de "grand théorème de Fermat", ou "théorème de Fermat-Wiles" n'est nullement usurpé compte tenu de l'époque. D'autre part, on dispose aujourd'hui d'une démonstration comme un cas particulier de la conjecture de Tanyama-Shimura-Weyl et de la conjecture epsilon mais rien ne dit que l'on ne découvrira pas une démonstration beaucoup plus simple par la suite, voire élémentaire... Ce fut le cas du grand théorème des nombres premiers (1896) dont selberg donna une preuve élémentaire en 1949 et de combien d'autres...Claudeh5 21 juillet 2006 à 22:36 (CEST)

[modifier] La véritable démonstration

Il serait bien de mettre un lien vers la démonstration complète, si elle existe en ligne

Voilà qui est fait ... bonne lecture, et surtout ... bon courage :-D
Au fait, je lis dans l'article que ce théorème n'a aucune application, mais si je ne me trompe, il en a bel et bien en cryptographie via les courbes elliptiques, non?
Bender 9 janvier 2006 à 01:24 (CET)

[modifier] De nouvelles véritables démonstrations ?

Il est intéressant de remarquer que l'histoire du théorème de Fermat ne s'arrête pas à la démonstration proposée par Andrew Wiles. D'abord, il n'est pas prouvé rigoureusement que de toutes les démonstrations antérieures à celle d'Andrew Wiles, il n'en existe pas au moins une Insérez le texte à mettre en italique à la place de celui-ciqui soit correcte. Comment en être sûr lorsqu'on apprend que les propositions se comptent par milliers ? Ensuite, il semble judicieux de noter que des généralisations du théorème de Fermat-Wiles existent telles celle d'Andrew Beal dont la conjecture stipule que \forall{X>0,Y>0,Z>0,a>2,b>2,c>2} X,Y étant premiers entre eux U^c\neq{X^a+Y^b} ou encore celle de Jamel Ghanouchi qui stipule que \forall{X_1,X_2,...,X_i,Y,n_1>i(i-1),n_2>i(i-1),...,n_i>i(i-1),n>i(i-1)} X1,X2,...,Xi,Y étant premiers entre eux dans l'ensemble X_1^{n_1}+X_2^{n_2}+...+x_i^{n_i}\neq{Y^n} Il faut, bien entendu se montrer prudent, car les démonstrations de l'auteur de cette dernière conjecture devenue théorème utilisent des suites et des séries et sont donc relativement élémentaires, ce qui explique la méfiance des mathématiciens. Sans compter que Jamel Ghanouchi travaille en solitaire et propose trop de tentatives avant de finaliser ses démonstrations. L'article de la démonstration de ce nouveau théorème est cependant accepté dans l'indifférence générale par une revue internationale et confirme que Jamel Ghanouchi a apporté un nouveau souffle à ce théorème en le généralisant à l'extrême et en publiant sa démonstration. Mais, comment discerner les bonnes des mauvaises pistes et comment éviter les dérapages et peut-on accuser la communauté mathématique ? Car chaque être humain peut avancer une conjecture et il y a trop peu de mathématiciens professionnels sur Terre pour s'occuper de tout ce dont sont capables les esprits imaginatifs qui peuvent se compter par millions ?193.95.2.253 9 décembre 2006 à 12:50 (CET)

J'ai effacé provisoirement ces remarques qui avaient été rajoutées dans le corps de l'article pour plusieurs raison
  1. Le style n'est pas assez neutre: il me semble que dans une encyclopédie , on attend qu'une autre démonstration soit avérée avant de suggérer qu'il puisse en exister une autre. De même à la fin du paragraphe, sous entendre qu'une démonstration n'est pas lue car trop simple me parait très POV
  2. la conjecture d'Andrew Beal existe bien, et pourrait à la rigueur figurer comme ouverture
  3. l'autre conjecture n'est pas sourcée. Il me semble que la prudence impose d'indiquer l'auteur de la conjecture et les publications où elle figure.

Dans le doute, je préfère attendre une validation d'autres contributeurs pour mettre dans le corps de l'article une version neutre de cette intervention. HB 9 décembre 2006 à 15:49 (CET)

Je voudrais apporter ma contribution philosophique à ce théorème si fascinant et si énigmatique :

(Attention, je possède un copyright pour le texte qui suit):

De tous les théorèmes que Pierre de Fermat a présentés comme étant exacts et démontrés, aucun ne s’est jamais révélé inexact. Ce serait vraiment lui faire un mauvais procès que de prétendre qu’il n’a pas démontré justement celui-là, sous prétexte que tous ses successeurs, pendant trois siècles et demi, ont échoué : Fermat damait le pion à tous les professionnels sans exception, très avertis à l’époque des ruses et cheminements mathématiques.

Peut-être avait-il pressenti la difficulté qu’auraient eu ses contemporains, s’il leur avait soumis ce problème – puisque c'était son habitude de leur proposer des défis - à trouver sa démonstration, et il eût dû, alors, leur offrir ses meilleures astuces sans qu‘ils puissent rien lui proposer d'aussi beau en échange.

Souvenons-nous encore que plusieurs de ses autres démonstrations sont d’une difficulté formidable. Mais c’est seulement pour son « dernier théorème » qu’il reconnaît une « démonstration vraiment merveilleuse ». Alors, que ne devait-elle pas être ? Et pourquoi aurait-il dû livrer en pâture un tel trésor, alors qu’il était déjà le meilleur ? Andrew Wiles lui-même dit qu’en 1994, lorsqu’il a livré au monde sa démonstration, il s’est senti complètement « dépossédé ».

De plus, bien qu’il trouvât sa démonstration d’une grande beauté, le DTF en lui-même semblait un des théorèmes de Fermat les moins utiles à l’enrichissement des mathématiques. Pendant longtemps, les mathématiciens n’ont pas jugé utile d’établir soit son exactitude, soit son inexactitude. Les mathématiques ont bien connu un développement fantastique grâce à ce formidable théorème, mais dans le cadre de nos mathématiques modernes, longtemps après l’époque de Fermat, et surtout dans les années de la découverte de Wiles.

Mais peut-être avons-nous perdu, par le silence de Pierre de Fermat, le goût des belles mathématiques, simples, subtiles, l’amour des fins et très beaux raisonnements, maillon après maillon. Wiles a bien établi un raisonnement de ce type, mais très long. Il semble logique de penser que la méthode compliquée de Wiles ait son pendant dans le simple.

Il est un fait remarquable que lorsque Andrew Wiles découvrit pas hasard une très ancienne astuce du XlXe siècle, il acquit la certitude qu’il allait résoudre le dernier théorème de Fermat.

Il est encore plus remarquable que ce soit aussi d’anciens travaux, ceux du mathématicien prodige Évariste Galois, mort en 1832 à l’âge de vingt ans, qui permirent à Wiles d’accrocher le dernier maillon à sa construction.

Quant à Fermat, qui avait étudié les travaux d’Euclide et de Diophante, il connaissait et pratiquait usuellement de nombreuses astuces de raisonnement, et il en avait mis au point de nouvelles.

Certains ont même pu prétendre qu’il aurait menti. Or Fermat a écrit sa fameuse phrase – « J’ai une démonstration vraiment merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir » – au tout début de ses recherches.

Pourquoi aurait-il pris la peine de formuler si vite un mensonge grossier qui ne lui aurait rien apporté dans sa recherche jubilatoire de solutions artistiques aux grandes énigmes mathématiques qu’il se posait à lui-même, dans son goût pour les très belles et très difficiles démonstrations, et en particulier pour celle d’un si étrange, si bizarre, si extraordinaire problème, qui, de plus, est dans la continuité directe – et en est même le couronnement –, du plus grand des théorèmes, celui de Pythagore ?

Écrire un vain mensonge ne l’aurait avancé à rien, si ce n’est à se déconsidérer à ses propres yeux.

J’aime croire à l’existence d’une démonstration vraiment merveilleuse, primordiale, plus courte, plus simple.

En tout cas, que nous croyions ou non que Fermat ait trouvé une merveilleuse solution, nous lui devons une fière chandelle, car il nous a fait un cadeau formidable.

Chapeau, Monsieur Fermat. Vous avez soulevé un énorme lièvre en nous révélant ce théorème. Sans vous, les mathématiciens qui vous ont suivi n’auraient jamais fourni d’aussi gigantesques efforts pour démontrer une formule aussi difficile, faisant ainsi faire un pas de géant à l’univers des mathématiques, et à leur philosophie.

Parvenu bientôt à la fin de ma réflexion, j’ai presque acquis la conviction que si Pierre de Fermat n’avait pas, dans les toutes premières années de son œuvre, trouvé une merveilleuse démonstration à son « dernier théorème » – qui fut en fait, pour lui, un de ses premiers –, il n’aurait jamais écrit une telle phrase, si pleine d’une satisfaction que l’on devine très intime.

On peut penser alors que s’il a éprouvé cette jubilation, c’est que les différentes composantes de sa démonstration, leur enchaînement judicieux, ont dû lui paraître fascinants. Et s’il a, en effet, démontré ce théorème, cela lui a donné des ailes dans ses recherches ultérieures, a constitué le socle de sa réussite.

L’avenir a même donné raison à Fermat, puisque son théorème, trois siècles et demi après sa mort, a acquis une renommée universelle.

Andrew Wiles a influencé tous ses confrères lorsqu’il a dit qu’il ne pensait pas que Fermat avait trouvé une « démonstration vraiment merveilleuse ». Il a eu là une réaction bien humaine. Or, qui a dit cela ? Oui, celui qui avait le plus de raisons de prononcer une telle sentence, de faire tomber le couperet, celui qui avait – pas comme cet horripilant Fermat –, dévoilé sa solution. Alors, pourquoi ne le croirait-on pas ?

Connaîtrons-nous jamais le fin mot de l’histoire, retrouverons-nous jamais cette belle et élégante démonstration, alors que maintenant celle d’Andrew Wiles suffit amplement aux mathématiciens ? C’est la véracité de ce théorème qui de plus en plus jusqu’à cette année libératrice de 1994, a intéressé les savants. Cette année-là, leur honneur bafoué a été lavé. Les mathématiques modernes ont remporté une grande victoire. Mais est-ce une raison pour discréditer les Fondateurs ? Y aurait-il par hasard un peu de jalousie chez nos grands savants ?

Le Prince des amateurs nous a fait un sacré cadeau en ne nous livrant pas tout de suite son Théorème. Je crois qu’un deuxième cadeau, encore plus beau, doit être caché quelque part ; que nous avons presque tous cessé de le chercher parce qu’il n’intéresse plus grand monde, sauf de jeunes et enthousiastes étudiants en mal de gloire, mais accaparés par leurs études. Lorsqu’ils entreront dans la vie active, ayant acquis des réflexes de mathématiciens modernes, auront-ils encore la motivation, l’énergie, le temps, pour une mission quasi-impossible ?

Il est même jusqu’à ce nom, « Fermat », qui ne réussisse à cacher un désir malicieux de fermer notre intelligence à une compréhension trop hâtive et profonde ; de fermer la porte – après l’avoir entrouverte –, à trop de divulgations. Pierre de Fermat a posé la première pierre. Grâce à lui, les bâtisseurs de calcul ont construit des empires prospères. Pourtant la cité interdite, à ce jour, reste toujours cachée. (Attention, Droits réservés pour ce texte)--89.85.50.103 Luca di Amoretti 6 avril 2007 à 17:23 (CEST)

[modifier] En réponse à ce qui précède

Ce n'est pas Andrew Wiles qui a influencé les mathématiciens (ou les historiens) sur le fait que Fermat n'avait sans doute pas de démonstration: cela est déjà l'opinion des éditeurs de Fermat, à savoir Charles Henry et Paul Tannery (plutôt historiens tous deux, leurs arguments avaient à voir avec la chronologie des assertions de Fermat sur le théorème, pas sur sa difficulté). Par ailleurs, Andrew Wiles n'a pas rédécouvert par hasard une vieille astuce du 19e siècle, cette présentation risque d'induire en erreur. Plusieurs idées importantes sont mises en oeuvre dans sa preuve, la plupart mettant en jeu des techniques datant de la décennie précédente. A ce propos, même si la théorie de Galois joue un rôle, c'est au même titre que de nombreuses théories transmises depuis le 19e siècle et avant et après, par exemple sur les courbes algébriques, les représentations en général, les nombres p-adiques, etc. Voir par exemple le livre de Y. Hellegouarch Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles ou l'article de synthèse dans la Recherche (repris dans le hors série L'univers des nombres en 1999). Bien entendu, comme cela a déjà été mentionné à juste titre par Claudeh5 plus haut, cette preuve de Wiles, si jolie et fructueuse qu'elle soit (avis personnel, bandeau de neutralité, help) n'exclut pas du tout qu'on trouve une preuve élémentaire. Cordialement, --Cgolds 19 octobre 2007 à 09:44 (CEST)

[modifier] En réponse à ce qui précède

Merci beaucoup pour la rectification, Cgolds, elle est très utile, je modifie en conséquence (est-ce que ça convient mieux d'après vous ?) :

Un fait remarquable est que ce furent les anciens travaux du jeune prodige Évariste Galois, mort en 1832 à l’âge de vingt ans au cours d’un duel, qui permirent à Wiles de placer le premier maillon de sa construction.

Il est encore plus remarquable que ce soit en parcourant distraitement un article de Barry Mazur, qu’une formidable pépite lui sauta aux yeux : y était mentionné un raisonnement du XlXe siècle, dont Andrew perçut immédiatement la portée : il fut convaincu dès lors qu’il pourrait accrocher le dernier maillon de sa formidable construction.

D‘autre part, vous avez encore une fois raison, on ne peut pas dire qu’« Andrew Wiles a influencé tous ses confrères lorsqu’il a dit qu’il ne pensait pas que Fermat avait trouvé une "démonstration vraiment merveilleuse" ». J’ai conscience d’avoir manqué de discernement, d’avoir été dur avec l’ami Andrew. Pour la bonne compréhension de la discussion, je ne retire pas ces assertions incorrectes, et manquant de chronologie, de mon exposé. Oui, chacun est libre d’avoir son opinion là-dessus, et surtout Andrew Wiles ! Bien cordialement, Luca di Amoretti