Utilisateur:Daniel Dupont/Brouillons/Constante Omega

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La constante Oméga est une constante mathématique définie par

\Omega\,\exp(\Omega)=1.\,

C'est la valeur de W(1) où W est la fonction W de Lambert. Son nom provient de l'autre appellation de de la fonction W de Lambert : fonction Oméga.

La valeur approximative de Ω est 0,5671432904… [1]. Ses propriétés sont proches de celles du nombre d'or, en ce que

e^{-\Omega}=\Omega,\,

ou encore

log(1 / Ω) = Ω.

On peut calculer Ω de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale Ω0, et en calculant la suite

\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.\,

Cette suite converge vers Ω quand n→∞.

[modifier] Irrationalité et transcendance

On démontre que Ω est irrationnel par le fait que e est transcendant. Si Ω était rationnel, alors il existerait des entiers p et q tels que

\frac{p}{q} = \Omega

et donc que

1 = \frac{p e^{p/q}}{q}


e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, Ω est irrationnel.

Le fait que Ω soit transcendant est une conséquence direct du théorème de Lindemann-Weierstrass. Si Ω était algébrique, exp(Ω) serait transcendant et exp−1(Ω) également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

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