Développement en série de Engel

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Sommaire

[modifier] Construction du développement

Soit x_0 \in ]0,1]. On construit le développement de ce nombre de la manière suivante :

\left\{\begin{matrix} { a_0 = \left[\frac{1}{x_0}\right] + 1} \\ { x_1 = a_0x_0 - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { a_1 = \left[\frac{1}{x_1}\right] + 1} \\ { x_2 = a_1x_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad ... \qquad \left\{\begin{matrix} { a_n = \left[\frac{1}{x_n}\right] + 1} \\ { x_{n+1} = a_nx_n - 1 } \end{matrix} \right..

Dans ce cas, le nombre x0 s'écrit de manière unique sous la forme suivante (dite série de Engel) :

x_0 = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_0a_1} + \frac{1}{a_0a_1a_2}+ ... + \frac{1}{a_0a_1...a_n} + ...

où la suite (an)n est une suite croissante d'entiers plus grands que 2.

[modifier] Propriétés

Soit x_0 \in [0,1[. Alors x0 est rationnel si, et seulement si, la suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}} de son développement en série de Engel est constante à partir d'un certain rang.

[modifier] Exemples

Les nombres e=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} (qui donne immédiatement son développement : an = n) et y = \sum_{n=0}^{\infty}{q^{-n^2}} (avec q \in \mathbb{N}, q \geq 2) sont irrationnels car leurs développements en série de Engel tendent vers \infty.

[modifier] Bibliographie

  • Théorie des nombres, Daniel Duverney