Crise des fondements

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En mathématiques, la crise des fondements, aiguë surtout pendant le XIXe siècle, désigne la situation où les mathématiques sont perçues à la fois comme trop fragiles et incohérentes. Suite aux avancées dans différentes branches, dont les travaux de Gödel, cette crise est devenue moins aiguë.

Sommaire

[modifier] Description

Vers la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle, plusieurs mathématiciens ont tenté de construire les mathématiques sur des bases plus solides : Frege, Ernst Zermelo, David Hilbert et Bertrand Russell, entre autres. Cependant, malgré des efforts louables, Kurt Gödel avec ses théorèmes d'incomplétude (1931) a démontré qu'il est impossible de créer des systèmes auto-définis qui soient à la fois complets et cohérents.

Malgré la connaissance de ces théorèmes d'incomplétude, plusieurs mathématiciens ont tenté de créer différents systèmes mathématiques cohérents, un peu à la manière de Lobatchevsky et Bolyai avec leur géométrie non euclidienne. Parmi les systèmes proposés, la théorie ZFC, construite en grande part avant 1931, est la plus prisée au XXIe siècle.

[modifier] Historique

Au début du XIXe siècle, plusieurs mathématiciens remarquent que les mathématiques reposent sur des bases incertaines. Les démonstrations sont rares ou incomplètes. Il semble que la géométrie, telle qu'explicitée par Euclide, soit cependant à l'abri d'une remise en question. En effet, les postulats et les axiomes qu'il a formulés dans ses Éléments forment un tout cohérent où chaque proposition est démontrée.

Les mathématiques de l'époque fonctionnent très bien comme outil de représentation de la réalité. Par exemple, en physique, elle permet de calculer avec précision différents phénomènes. Cependant, la présence de \sqrt{i} cause un malaise, car ce nombre ne se rattache à aucun phénomène physique connu.

En géométrie, plusieurs mathématiciens tentent de déduire le cinquième postulat des quatre autres postulats. Gauss, Lobatchevsky (1839) et Bolyai (1832), en rejetant ce postulat, créent des nouvelles géométries : les géométries non euclidiennes. Il n'est plus nécessaire que deux droites soient parallèles pour que la géométrie soit cohérente. Le cinquième postulat est seulement nécessaire pour la cohérence de la géométrie euclidienne.

En algèbre, les irrationnels et les imaginaires ne sont pas une extension « naturelle » de la notion de nombre. Au XIXe siècle, la théorie des groupes prend son essor. Il ne s'agit plus de nombres, mais d'objets qui marient à la fois des notions de fonctions et d'ensembles (qui ne sont pas formellement décrits à ce moment) pour en faire une abstraction algébrique. Les groupes ne généralisent pas la notion de nombre. Il y a donc un sentiment de fracture qui apparaît.

La théorie des ensembles, formalisée par Bolzano (1851), Dedekind (1872-1888) et Cantor (1874-1891), met à l'avant-plan les ensembles infinis, objets aux propriétés particulières qui demandent une nouvelle approche. La théorie naïve des ensembles de Cantor est mis à mal par le paradoxe de Russell. Il s'ensuivra un formalisation de cette théorie dans le cadre de la théorie ZFC.

Pendant la première moitié du XIXe siècle, la logique, héritée de la Grèce antique, est vue comme un outil philosophique. Boole (1847) jette les bases de son algèbre et De Morgan (1847) publie ses lois. La logique devient une branche à part entière des mathématiques. Il s'agit encore de notions qui ne généralisent pas celle de nombre.

En 1879, Frege clarifie le raisonnement logique. Cette formalisation permet de dégager les trois caractéristiques que les mathématiques devraient avoir:

  1. cohérence : impossiblité de démontrer une proposition et son contraire
  2. complétude : pour tout énoncé, ou bien il est démontrable, ou bien son opposé est démontrable.
  3. décidabilité : il est possible de démontrer tout énoncé.

[modifier] Conséquences

David Hilbert (1899) rafraîchit la géométrie euclidienne, alors que les géométries non-euclidiennes sont explorées. Ces efforts seront spectaculairement mis en évidence par la relativité générale d'Einstein.

Trois écoles se forment au début du XXe siècle pour tenter de formaliser la logique et la métamathématique :

Russell et Whitehead, s'appuyant sur la logique et plusieurs axiomes, tentent de construire de façon cohérente les mathématiques. Leur travail, complexe et incomplet, culmine avec Principia Mathematica (1910-1913). L'école formaliste voit les mathématiques comme le résultat de définitions et d'axiomes qui permettent de les construire de façon quasi-mécanique. Finalement, l'école intuitionniste voit les mathématiques comme une formalisation de l'intuition. De plus, tous les objets mathématiques possèdent un degré de vérité se situant entre vrai et faux, à la manière de la probabilité de réalisation d'un évènement.

En 1931, Kurt Gödel publie ses théorèmes d'incomplétude, mettant fin à la pertinence de vouloir rendre l'ensemble des mathématiques cohérentes.

[modifier] Voir aussi