Discuter:Corps de décomposition
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[modifier] Corps de décomposition
J'ai un problème avec la définition donnée comme un certain sous-corps de la clôture algébrique (soit dit en passant, on devrait dire une clôture algébrique). En effet, la preuve de l'existence d'une clôture algébrique passe au début par l'extension de corps de décomposition. On se mord alors la queue. Liu (d) 12 avril 2008 à 18:28 (CEST)
[modifier] Notations
La notation P(X) K[X] pour désigner l'anneau des polynômes formels et K(x) l'anneau des fonctions polynômes. En revanche, K(X) désigne très généralement le corps des fractions rationnelles. Cette convention est utilisée dans la grande majorité des articles de théorie de Galois, pour une fois, ce n'est pas une faute de frappe. De même la notation Q[X] / P[X] pour désigner l'anneau quotienté de Q[X] par l'idéal engendré par P[X] est aussi une notation fréquente et plus légère. Pour le reste, les modifications sont excellentes, particulièrement de lutter contre ma manie parler de la clôture algébrique. Jean-Luc W (d) 13 avril 2008 à 12:45 (CEST)
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- Ainsi, avec les notations utilisées, P[X] désigne un polynôme formel, P(X) une fraction rationnelle formelle, P(α) désigne l'image du polynôme ou de la fraction par le morphisme d'évaluation en α. Cette convention, pas moins répandue qu'une (largement utilisée en théorie de Galois et en théorie algébrique des nombres) autre possède un avantage, elle est cohérente sur de nombreux articles. Je sais qu'il en existe une multitude d'autres en fonction des besoins, p(X) pour désigner un polynôme formel, l'absence de distinction entre polynôme formel et polynôme fonctionnel etc... En théorie de Galois ou algébrique des nombres, on utilise largement les polynômes, par exemple pour définir des anneaux ainsi que les fractions rationnelles pour définir des clôtures intégrales. Comme en théorie algébrique des nombres la convention choisie ici est bien pratique, j'ai jugée bon de l'adopter. Jean-Luc W (d) 13 avril 2008 à 12:59 (CEST)
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- Je suis vraiment embêté avec la notation P[X] pour un polynôme. Je ne l'avais jamais vu ailleurs. Pour Q[X]/P[X] si c'est plus léger, c'est aussi "confusionnant" car il ne se distingue par de la fraction Q[X]/P[X]. Pour alléger la notation on peut écrire P au lieu de P(X) et aussi écrire Q[X]/(P) au lieu de Q[X]/(P(X)). La notation P(α) est standard, et justement on aurait été obligé de noter P[α] si on veut être cohérent avec la notation P[X]. Liu (d) 13 avril 2008 à 23:52 (CEST)
Cette histoire de notation n'est pas simple. Une des difficultés de WP est que le mélange de Latex dans le corps du texte n'est pas heureuse. Le rendu dépend du navigateur utilisé, et par exemple sur ma machine, les lignes deviennent inégales et le texte plus difficile à lire. Pour cette raison et dans la mesure du possible j'essaie de ne pas mélanger. Ensuite, les auteurs utilisent en effet des conventions fort différentes selon les besoins (majuscules, minuscules, crochet, parenthèse ou lettre simple pour désigner un polynôme). Nous avons tous appris ces théories avec une convention, il est certain qu'en voir une autre pour un lecteur ou un contributeur est source de confusion. La même notation pour les polynômes et les fractions rationnelles n'est très sain dans le cadre de la théorie algébrique des nombres, pour cette raison j'ai choisi celle des théoriciens des nombres, car c'est probablement l'endroit où ce type de notation est le plus fréquent (30 articles dans la catégorie théorie algébrique des nombres, 50 pour l'arithmétique modulaire, 23 dans équation diophantienne etc...). Le passage au morphisme d'évaluation transforme chez beaucoup d'auteurs le crochet en parenthèse, ce qui aide à séparer la fonction polynôme du polynôme formel. De là à désigner les polynômes sur Q par Q(X) et un polynôme de Q[X] par P(X), il existe un pas qui n'est que rarement franchi en théorie des nombres. Utiliser une convention plutôt qu'une autre ne me semble pas une affaire clé, de toute manière les lecteurs habitués à une autre notation seront gênés, mais ne pas suivre une même cohérence au sein de WP me semble une erreur. Cette convention est suivi dans Corps de rupture, Corps de décomposition, Corps parfait, Extension algébrique, Extension finie, Extension normale, Extension séparable, Extension de Galois, Théorème de l'élément primitif, Théorème fondamental de la théorie de Galois, Théorie de Galois, Théorème d'Abel (Algèbre), Groupe de Galois, Polynôme cyclotomique, Corps fini, Théorème de Wedderburn, Polynôme minimal d'un nombre algébrique, Polynôme minimal d'un endomorphisme, Anneau factoriel, Anneau euclidien, Entier algébrique, Entier quadratique, Extension quadratique etc... Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 09:36 (CEST)
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- Pour la clôture algébrique, il n'y a en général pas de problème pour dire la clôture algébrique d'un corps puisque toutes les clôtures algébriques sont isomorphes entre elles. Mais dans la théorie des extensions, il faut faire attention. Par exemples si P(X) (désolé pour la notation :)) est un polynôme irréductible sur K, alors K[X]/(P) est contenu dans une clôture algébrique de K mais pas dans toutes. Liu (d) 13 avril 2008 à 23:58 (CEST)
Selon les auteurs clôture algébrique désigne la plus petite extension algébriquement clôt ou n'importe quelle extension algébriquement close. Pour beaucoup de lecteurs, la clôture algébrique d'un corps de nombres signifie C. En théorie des représentation des groupes fini, Jean-Pierre Serre ne se gène pas pour utiliser cette définition. Je partage donc l'opinion qu'il est plus sage de parler d'une clôture algébrique, sans utiliser implicitement le fait que l'on désigne la plus petite. Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 09:36 (CEST)
- Moi non plus, je n'ai jamais vu la notation P[X] pour un polynôme ailleurs (et en particulier en théorie des nombres). Une source ? J'ai aussi de sérieux doutes sur le fait que Serre prendrait C comme clôture algébrique de Q. C'est à quelle page ? Salle (d) 14 avril 2008 à 09:55 (CEST)
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- Bonjour, cette histoire de notation est effectivement complexe. Pour le rendu des symboles de maths, je ne connais pas bien le mécanisme. C'est embêtant de devoir lire la syntax Tex au lieu des symboles directement. Maintenant pour les polynômes, je n'ai pas suffisamment de pratique de WP, mais il me semble que WP n'est pas là pour créer ses propres conventions. Ton idée de P[X] est peut-être bonne, mais il est extrêmement difficile de changer une convention établie. Il n'est pas souhaitable d'avoir une convention WP et une convention le reste du monde. Si la mauvaise notation est utilisée dans plusieurs articles, il faudrait les changer partout, et je suis (très fortement) pour. Liu (d) 14 avril 2008 à 10:28 (CEST)
Emballé, c'est pesé : Deux spécialistes, dont un vraiment gêné, voilà qui est trop pour maintenir une position, (qu'elle soit sourcée ou non). Cela indique probablement que beaucoup de lecteurs seront aussi gênés, je propose après approbation de Liu et Salle de passer aux notations P pour un polynôme et (P) pour l'idéal engendré par le polynôme.
Je n'ai pas le Serre sous les yeux, mais Serre, dans son livre sur les représentations des groupes finis considère uniquement C pendant les deux premières parties (à l'exception d'un chapitre sur les représentations réelles). Je suis presque sur (je vérifierais) qu'il indique qu'un corps de décomposition ou une autre clôture algébrique ferait aussi bien l'affaire, quand il commence à faire de l'arithmétique. Nous sommes tous d'accord que la clôture algébrique ne concerne que la plus petite clôture algébrique, mais à mon avis, le terme une clôture algébrique est aussi utilisée. Je dois une référence à Salle. Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 10:32 (CEST)
- Merci pour ton sens de dialogue. Pour être précis, je pense qu'on devrait écrire P(X) pour un polynôme, et P si ça devient encombrant. Liu (d) 14 avril 2008 à 22:30 (CEST)
Absolument d'accord Jean-Luc W (d) 15 avril 2008 à 08:59 (CEST)
[modifier] Petite enquête rapide
Les définitions de clôture algébrique sur le net et dans l'ordre :
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- WP la minimalité n'est pas requise.
- Jussieu : la minimalité n'est pas requise Corps fini et clôture algébrique P 141 parle d'une clôture algébrique (= surcorps algébriquement clôt).
- Ali Benhissi parle aussi d'une clôture algébrique page 1 Lire.
- Michel Matignon parle en revanche de La clôture algébrique page 10-01 Lire
- Dico maths parle d'une clôture algébrique et ne fait pas référence à une minimalité. Dico maths (Détail amusant, après une définition ne faisant pas appel à la minimalité, Dico maths fait référence au théorème de Steinitz qui montre l'unicité de la clôture algébrique.
- Daniel Ferrand parle d'une clôture algébrique dans décomposition du Dunford.
Sur 6 premières références (5 si l'on omet WP, qui par définition n'a pas d'autorité ici), aucune ne suppose de minimalité dans la définition de clôture algébrique à l'exception de celle de Matignon, et le cas dico maths qui semble bien partagé. Je préconise donc par défaut de parler d'une clôture algébrique. Cependant, je partage l'opinion que le terme la clôture algébrique est fort peu ambigu. Il me reste encore à vérifier que Serre parle d'une clôture algébrique. Il est bien évident que jamais Serre ne parlerait de La clôture algébrique de Q étant égal à C (ce qui serait totalement absurde). Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 11:00 (CEST)
- J'ai l'impression que tu fais une erreur : dans le poly de Polo à Jussieu, comme dans DicoMaths, il y a la condition de minimalité, puisqu'une clôture algébrique de k est un corps K tel que K/k est une extension algébrique et K est algébriquement clos (et pas clôt, me semble-t-il). Deux clôtures algébriques sont alors isomorphes . Ce qui empêche de parler de la clôture algébrique (sauf à s'être fixé un surcorps algébriquement clos au préalable), c'est que cet isomorphisme n'est pas unique. C'est uniquement pour cela, àma, que Benhissi parle d'une clôture algébrique, et non pas parce qu'il aurait enlevé la condition de minimalité de la définition. Salle (d) 14 avril 2008 à 13:37 (CEST)
Merci Salle. Eh oui, il devient clair que j'ai fait une erreur, je n'avais pas vu la condition de minimalité. Le terme d'une clôture algébrique fait référence à l'existence d'automorphismes et non à une absence de minimalité. Voilà qui m'exonère d'une vérification chez Serre. Liu, toi, Polo (est-ce l'ancien ens de 82 ?) et Dicomath c'est bien suffisant pour se faire une opinion. Merci encore, j'ai compris la raison de ma confusion, et vous prie à Liu et à toi d'excuser mon absence de pertinence. Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 15:38 (CEST)
