Utilisateur:Celui/Bac à sable

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Sommaire

1 Courbe de Bézier
2 Justification

[modifier] Courbe de Bézier

Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques de l'espace décrites pour la première fois en 1972 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles ont de nombreuses applications dans la synthèse d'images et le rendu de fontes; elles ont données naissances à de nombreux autres objets mathématiques. Une courbe de Bézier est une interpolation entre N points de l'espace qui sont appellés points de contrôle, c'est-à-dire que la courbe passe assez près des points de contrôle.

[modifier] Théorie générale

Mathématiquement la courbe de Bézier définie par les points de contrôle $P_0,\dots, P_N$ , il s'agit de la représentation de la fonction :

$B:[0,1] \to \mathbb{R}^3$

$B(t)= \sum_{i=0}^N B_N^i(t)P_i,$ $t \in[0,1]$ où les $B_N^i$ sont les polynômes de Bernstein.

Le polygone $P_0,\dots,P_N$ est appellé polygone de Bézier.

Remarque : Puisque $\sum_{i=0}^N B_N^i(t) = 1$ alors la courbe est correctement définie. Chaque point de la courbe peut être vu comme un barycentre des points de contrôle, les poids étant alors donnés par les valeurs des polynômes de Bernstein.

Propriétés :

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points points de contrôles.
La courbe commence par le point $P 0$ et se termine par le point $P N$ mais ne passe pas a priori par les autres points de contrôle qui détermine cependant l'allure globale de la courbe.
$\overrightarrow{P_0P_1}$ est le vecteur tangent à la courbe en $P 0$ et $\overrightarrow{P_{N-1}P_N}$ au point $P N$
Une courbe de Bézier est infiniment dérivable.
Une courbe de Bézier est un segment si et seulement si les points de contrôle sont alignés.
Une courbe de Bézier est inscrite dans un plan si et seulement si tous les points de contrôles sont dans ce plan.
Chaque restriction d'une courbe de Bézier est aussi une courbe de Bézier.
Un arc de cercle (un cercle a fortiori) ne peut pas être décrit par une courbe de Bézier, quelque soit son degré.
Pour effectuer une transformation affine de la courbe, il suffit d'effectuer la transformation sur tous les points de contrôle.

[modifier] Exemples

[modifier] Courbe de Bézier linéaire (de degré 1)

Les points de contrôle P₀ et P₁ définissent la courbe de Bézier donnée par l'équation :

$\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].$

Il s'agit donc du segment [0,1]

[modifier] Courbe de Bézier quadratique (de degré 2)

Une courbe de Bézier quadratique est la courbe B(t) définie par les points de controle P₀, P₁ et P₂.

$\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P_0} + 2t(1 - t)\mathbf{P_1} + t^{2}\mathbf{P_2} \mbox{ , } t \in [0,1].$

Ci-contre, une courbe de Bézier quadratique et le polygone de Bézier associé aux 3 points de contrôle.

[modifier] Courbe de Bézier cubique (de degré 3)

Ce sont les courbes de Bézier les plus utilisées.

Une courbe de Bézier cubique est la courbe B(t) définie par les points de controle P₀, P₁, P₂ et P₃. Sa forme paramétrique est :

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P_0}(1-t)^3+3\mathbf{P_1}t(1-t)^2+3\mathbf{P_2}t^2(1-t)+\mathbf{P_3}t^3 \mbox{ , } t \in [0,1].$

[modifier] Courbe de Bézier de degré supérieur à 3

Elles sont rarement utilisées. On préfère se ramener à l'utilisation de courbes cubiques que l'on raccorde, pour cela il faut et il suffit que le dernier point d'une courbe soit le premier d'une autre. On obtient ainsi une courbe continue. Par exemple pour une courbe définie par les points A, B, C, D, E, F et G, on utilise les courbes cubiques définies par A, B, C, et D, et par D, E, F, et G et la continuité et ainsi assurée. Pour avoir une courbe C¹ en D il faut [C,D] = [D,E], et si en plus on veut qu'elle soit C² en D alors [B,D] = [D,F], et de même pour les dérivées successives.

[modifier] Applications

Synthèse d'images

Les courbes de Bézier composent l'outil de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription mathématique des objets.
Les plus importantes courbes de Bézier, sont les cubiques, qui sont utilisées en informatique pour le graphisme et dans de multiples systèmes de synthèse d'images tels que PostScript, Metafont et GIMP pour dessiner des courbes « lisses » joignant des points ou des polygones de Bézier.

Rendus de fontes

Les textes sont également définis par des courbes de Bézier dans le cadre des fonctions de PAO comme la mise en page complexe, la gestion de bloc de texte, les habillages ou la vérification orthographique.
Les fontes TrueType utilisent des courbes de Bézier quadratiques plus simples.

[modifier] Courbe de Bézier rationnelle

Pour décrire très exactement des courbes comme les cercles (bien qu'en pratique les approximations par les courbes de Bézier soient suffisantes), il faut des degrés de liberté supplémentaires.

L'idée est d'ajouter des poids aux points de contrôle (ce sont les $ω i$ ). Le dénominateur n'est la que pour normaliser la somme des poids supplémentaires, afin que la courbe soit correctement définie.

Forme générale d'une courbe de Bézier rationnelle :

$\mathbf{B}(t) = \frac{\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \omega_i \mathbf{P}_{i} } {\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) w_i }$

Exemple : le quart du cercle trigonométrique qui se trouve dans le premier cadran est obtenu par la coube de Bézier rationnelle induite par 3 points de contrôles : $(1,0),(1,1)$ et $(0,1)$ avec le poids de $(1,1)$ double de celui des 2 autres points.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens internes

Les splines qui sont d'autres courbes paramétriques comme les Béziers
Les surfaces de Bézier qui sont la généralisation aux surfaces (c'est la forme la plus utile en CAO)
L'algorithme de de Casteljau qui permet d'afficher les courbes de Bézier.

[modifier] Liens externes

[modifier] Références

(fr) Annexe G du livre « Fontes et codages »,
(en) Paul Bourke: Bézier curves,
(en) Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellente discussion sur les détails de l'implémentation; disponible gratuitement comme partie intégrante de la distribution de TeX.

[modifier] Justification

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