Carré magique plus que parfait

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En mathématiques, un carré magique plus que parfait est un type de carré magique avec deux propriétés supplémentaires (où n désigne la taille du carré):

  1. La somme sur chaque sous-carré de taille 2 x 2 vaut 2S où S = n2 − 1.
  2. La somme de chaque paire d'entiers distants de n/2 le long d'une diagonale (majeure) vaut S.

Tout carré magique plus que parfait est aussi un carré panmagique.

Les carrés magiques plus que parfaits sont tous d'ordre 4n. Dans leur livre, Kathleen Ollerenshaw et David Brée donnent une méthode de construction et d'énumération de tous les carrés magiques plus que parfaits. Ils montrent aussi qu'il existe une bijection entre les carrés inversibles et les carrés magiques plus que parfaits.

Pour n = 36, il existe environ 2,7\times 10^{44} carrés magiques plus que parfaits dans la forme standard de Frénicle (c'est-à-dire qu'il existe autant de carrés magiques plus que parfaits essentiellement équivalents).

Voici un exemple d'un carré magique plus que parfaits de taille 12 x 12.

       [1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6]  [7]  [8]  [9]  [10]  [11]  [12]
 [1]   64   92   81   94   48   77   67   63   50    61    83    78
 [2]   31   99   14   97   47  114   28  128   45   130    12   113
 [3]   24  132   41  134    8  117   27  103   10   101    43   118
 [4]   23  107    6  105   39  122   20  136   37   138     4   121
 [5]   16  140   33  142    0  125   19  111    2   109    35   126
 [6]   75   55   58   53   91   70   72   84   89    86    56    69
 [7]   76   80   93   82   60   65   79   51   62    49    95    66
 [8]  115   15   98   13  131   30  112   44  129    46    96    29
 [9]  116   40  133   42  100   25  119   11  102     9   135    26
[10]  123    7  106    5  139   22  120   36  137    38   104    21
[11]  124   32  141   34  108   17  127    3  110     1   143    18
[12]   71   59   54   57   87   74   68   88   85    90    52    73


  • Kathleen Ollerenshaw, David Bree: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration, Southend-on-Sea : Institute of Mathematics and its Applications, 1998, ISBN 090509106X
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