Approximation linéaire

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Tangente au point (a, f(a))
Tangente au point (a, f(a))

En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d'une fonction, par une application linéaire.

Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d'une variable réelle, et un réel a, il existe une fonction \varepsilon définie dans un voisinage de a telle que

f(x)=f(a)+f\,'(a)(x - a)+\varepsilon(x)

\varepsilon s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier (n = 1) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.

Une approximation linéaire de f s'obtient en négligeant le reste. La fonction x\mapsto f(a) + f\,'(a)(x-a) représente alors une approximation linéaire de f en a.

On écrit alors, pour x dans un voisinage de a

f(x) \simeq f(a)+f\,'(a)(x-a).

L'expression de droite correspond à l'équation y=f(a)+f\,'(a)(x-a) de la tangente à la courbe représentative de f au point (a,f(a)), et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente.

Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle f\,'(a) est remplacée par une matrice jacobienne. L'approximation correspond alors à l'équation d'une droite tangente, ou d'un plan tangent, ou d'un hyperplan tangent. Cela s'applique aussi au fonctions d'une variable complexe.

Dans le cas plus général des espaces de Banach, on peut écrire

f(x) \simeq f(a) + \mathrm Df(a)(x - a)

où Df(a) est la différentielle de f en a. Ici l'application linéaire n'est autre que Df(a).

[modifier] Exemples

Pour trouver une valeur approchée de \sqrt[3]{25} il est possible de procéder de la manière suivante:

  1. considérer la fonction f définie par f(x)= x^{1\over 3}\,. Le problème se ramène à la recherche d'une valeur approchée de f(25).
  2. f est une fonction puissance donc dérivable sur \R_+^* et la dérivée est donnée par
    f\,'(x)= \frac13 x^{-\frac23}.
  3. Par une approximation linéaire, il vient
    f(25) \simeq f(27) + f\,'(27)(25 - 27) = 3 - \frac2{27}.
  4. La valeur approchée 2,926 obtenue, apparaît assez proche de la valeur exacte 2,924…