Théorème des fonctions implicites

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En analyse mathématique, le théorème des fonctions implicites, avec les théorèmes associés, est un des résultats les plus importants concernant les fonctions différentiables. Il permet d'étendre un grand nombre de résultats d'algèbre linéaire au cadre non linéaire, mais en fournissant des résultats locaux.

Il a des implications géométriques très importantes et sert notamment de soubassement aux premiers résultats concernant les variétés en topologie différentielle.

Sommaire

1 Formulation géométrique pour la dimension deux
- 1.1 Exemple
- 1.2 Énoncé
2 Énoncé général
3 Applications
4 Voir aussi
5 Références

[modifier] Formulation géométrique pour la dimension deux

Article détaillé : Courbe implicite.

Il existe trois façons classiques de définir les courbes du plan

comme arcs paramétrés
comme ensemble défini par une équation
comme graphe d'une fonction numérique

Le théorème des fonctions implicites montre que, localement, ces trois points de vue sont équivalents, moyennant de faire l'étude au voisinage d'un point vérifiant certaines conditions.

[modifier] Exemple

Le cercle unité a pour équation $x 2 + y 2 - 1 = 0$ . Il est bien connu qu'aucune fonction numérique ne peut avoir pour graphe le cercle, puisque deux points distincts ne peuvent pas avoir la même abscisse. Certains tronçons de la courbe apparaissent pourtant comme des graphes.

Réalisons l'étude en un point c du cercle autre que les points de coordonnées (-1,0) ou (1,0). Il faut ensuite se placer sur un voisinage convenable de c. Si c a une ordonnée strictement positive, le demi-plan $y > 0$ conviendra. En restriction à ce demi-plan, un point x,y vérifie l'équation du cercle si et seulement s'il est sur le graphe de la fonction

$\psi_1 (x)=\sqrt{1-x^2}$

De même si c a une ordonnée strictement négative, en restriction au demi-plan $y < 0$ convient, les points du cercle sont sur le graphe de la fonction

$\psi_2 (x)=-\sqrt{1-x^2}$

En revanche si le point d'étude est le point de coordonnées (-1,0), au voisinage de ce point, les arcs de cercle ne s'écrivent jamais comme des graphes.

L'exemple choisi était assez simple pour permettre de mener tous les calculs de façon explicite, mais l'enjeu du théorème est d'obtenir des résultats analogues quand bien même le calcul explicite s'avère impossible.

[modifier] Énoncé

Soit F une fonction de classe ${\mathcal C}^1$ sur U ouvert de $\R^2$ à valeurs réelles. Soit C la courbe d'équation F(x,y)=0. On fait l'étude de la courbe au voisinage d'un point $c = (x 0, y 0)$ tel que

$F(c)=0\qquad \frac{\partial F}{\partial y}(c)\neq 0$

En restriction à un voisinage suffisamment petit de c, l'ensemble des points tels que F(x,y)=0, peut être aussi bien décrit comme un graphe $y = ψ(x)$ , avec la dérivée de ψ qui peut être exprimée en fonction de F.

Précisément, il existe deux intervalles ouverts I et J, contenant respectivement x₀ et y₀, et une fonction ψ de I dans J, de classe ${\mathcal C}^1$ et telle que

$\forall (x,y)\in I\times J, \qquad F(x,y)=0\Leftrightarrow y=\psi(x)$

En outre la dérivée se calcule par

$\psi'(x_0)= -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)}$

[modifier] Énoncé général

Le théorème s'énonce en général dans le cadre des espaces de Banach.

Soient U et V deux ouverts d'espaces de Banach E et F et f une application continûment différentiable de $U\times V$ dans un troisième espace de Banach G.

L'étude se fait en un point $(a,b) \in U\times V$ . On suppose que l'application partielle $f(a,\cdot) : y \mapsto f(a,y)$ admet pour différentielle en b une application qui réalise un isomorphisme de F sur G.