Discuter:Analyse non standard

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Certes, mais ça n'est pas propre à l'analyse non-standard, c'est le cas dès que l'on touche à des ensembles infinis (ex : les entiers comprennent une infinité d'entiers pairs et une infinité d'entiers impairs). En plus ça n'est déconcertant que parce qu'on utilise l'infini comme un nombre alors que ce n'en est pas un ...

Pour en revenir à l'article, j'ai rajouté un bandeau {{ébauche}} parce qu'il me paraît beaucoup trop court et vague. En particulier s'il y a une chose à proscrire dans un article de maths (et pas seulement dans wikipedia) c'est l'utilisation de termes comme infiniment petit sans les définir précisément. Quand à la section Transfert je n'y comprend tout simplement rien en l'état.

Malheureusement je n'ai pas le temps actuellement de m'attaquer au sujet. L'article anglais pourrait être une base de travail, il a l'air assez clair et fourni (j'ai ajouté l'interwiki). Si quelqu'un s'y met j'essaierai d'apporter un peu d'aide ;)

PtitLutin 3 aoû 2004 à 22:23 (CEST)

J'ai ajouté des liens wiki sur les concepts qui, je pense, demandent clarification. Peut-être qu'une autre approche serait de tout expliquer directement dans l'article. En tout cas, dans l'état, je n'y comprends pas grand chose. Que veut dire x = x_F, par exemple ? (le symbole « _ » n'est expliqué nulle part ... c'est peut être juste une typo, ou alors peut-être l'auteur a-t-il tout simplement oublié les balises <math> ... encore faudrait il expliqué ce qu'est x_F)--Ąļḋøø 27 aoû 2004 à 13:46 (CEST)

Thierry, tu parle d'"un ensemble infini possédant un nombre infini d'éléments standard et un nombre infini d'éléments non-standard", mais tout ensemble ne possède qu'un nombre fini d'éléments standard, même si ce nombre lui-même est non standard :-). J'ai par ailleurs supprimé le lien du prédicat standard dans le sens où c'est l'article lui-même qui, peu à peu, doit donner un sens à ce prédicat Theon 30 nov 2004

Mon message précédent contient une inexactitude. Il serait plus juste de dire : dans tout ensemble, il existe un ensemble fini contenant tous les éléments standard. Mais on ne peut parler du "nombre" d'éléments standard dans le sens où les éléments standard ne forment pas un ensemble de Zermelo-Fraenkel et qu'on ne peut donc pas parler du nombre d'éléments de cet ensemble. Theon 1er déc 2004

Sommaire 1 analyse réelle, analyse complexe 2 Axiome du choix et analyse non standard. 3 Remarques diverses 4 Erreur possible 5 Diverses questions, ou fautes potentielles

[modifier] analyse réelle, analyse complexe

Suite à la dernière modification de 83.194.164.98, qui rectifie un paragraphe en affirmant que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle (ce qui paraît intuitif), je me demande ce qu'il en est vraiment. En effet, la justification dans la version précédente (qui affirmait juste le contraire), me paraît plutôt sensée.

On pouvait y lire : en effet, l'étude des fonctions de R*R dans R*R n'impose pas les équations de Cauchy-Riemann pour les dérivées des fonctions de C dans C

Qu'en pensent les analystes (réalistes ou complexés ;-) ) ? --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 14 déc 2004 à 18:28 (CET)

C'est moi qui avait écrit le premier paragraphe, et je voulais effectivement mettre que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle (en effet R est inclus dans C). A la suite d'une étourderie, j'avais mis que l'analyse réelle est plus générale que l'analyse complexe. Puis il y a eu la correction proposée en effet, l'étude des fonctions de R*R dans R*R n'impose pas les équations de Cauchy-Riemann pour les dérivées des fonctions de C dans C. Cette correction n'est guère convaincante. Il ne s'agit pas de comparer R*R à C, mais R à C, ou alors R*R à C*C !! J'ai donc enlevé cet argument et j'ai corrigé mon paragraphe (et à la suite d'une deuxième étourderie, j'avais oublié de m'identifier).

C est obtenu à partir R en ajoutant un élément, de même que l'analyse non standard est obtenue à partir de l'analyse classique en ajoutant un prédicat. Dire alors que l'analyse non standard est plus générale que l'analyse classique de même que l'analyse réelle est plus générale que l'analyse complexe était un contre-sens. Theon 16 déc 2004 à 11:16 (CET)

J'en ai parlé à mon colloc (agrégatif en maths). Lui, considère qu'il n'y en a pas une plus générale que l'autre : ce seraient juste des domaines d'étude différents ... ceci dit, il n'a peut-être pas poussé la réflexion jusqu'au bout. --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 16 déc 2004 à 23:46 (CET)

Il me semble que si un domaine d'étude D est plus vaste qu'un domaine D', D sera plus général que D'. A titre d'exemple, comment fait-on pour résoudre une équation du troisième degré à coefficients réels, si on ne dispose pas des nombres complexes ?Theon 17 déc 2004 à 08:20 (CET)

Tant que "plus vaste" est à prendre au sens de l'inclusion, je suis tout à fait d'accord. Et si tout résultat d'analyse réelle peut aussi être qualifié de résultat d'analyse complexe, je suis aussi d'accord pour dire que la complexe est plus générale que la réelle (mais ça, je n'en sais rien !) --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 17 déc 2004 à 16:51 (CET)

Il n'y a pas inclusion entre l'analyse complexe et l'analyse réelle. En analyse complexe la notion de dérivable est beaucoup, beaucoup plus contraignante qu'en analyse réelle (c'est pour ça qu'on dit 'holomorphe'). En analyse réelle, on dispose de la relation d'ordre, qui permet de raconter des choses très intéressantes ce qui n'est pas possible en analyse complexe. Je dois avouer que la phrase m'a fait tiquer ; elle est incongrue. Snark 31 juillet 2005 à 22:56 (CEST)

Ben, à partir du moment où R est inclus dans C, je ne vois pas trop où est le pb. Mais le fond de la question n'est pas là. Pour faire comprendre que l'analyse non standard était une extension de l'analyse classique (par ajout de la notion "standard"), j'avais pensé à évoquer le domaine complexe qui est une extension du domaine réel (par ajout de la notion "racine de -1"). Les deux démarches sont très semblables. Par exemple : tout résultat classique obtenu avec des moyens non standard est néanmoins vrai en analyse classique. Toute formule sur les réels obtenue au moyen des complexes est néanmoins valide dans R. Theon 19 déc 2004 à 15:59 (CET)

J'avoue que je n'ai rien compris de cet article. Ne peut-on pas le refaire en utilisant des termes plus simples? Wikipedia est censé être accessible à tout le monde! --80.201.74.218 27 jan 2005 à 22:23 (CET)

L'introduction a été réécrite pour mieux expliquer d'où vient et ce qu'est l'analyse non standard. Est-ce plus clair ainsi ? Quant au développement de l'article, il ne peut être un cours d'ANS et ne peut que survoler la question, ne donnant qu'une faible idée de ce qu'est l'ANS. En cas de difficulté de compréhension, il faudrait être plus explicite : A partir de quel paragraphe exactement décroche-t-on ? Theon 31 jan 2005 à 09:46 (CET)

[modifier] Axiome du choix et analyse non standard.

Dans l'article, la théorie de base pour construire l'analyse non standard style IST est la théorie ZF. Pourtant, dans le bouquin de Diener et Reeb, ils prennent ZFC. Je suis actuellement en train d'essayer de résoudre un problème sans l'axiome du choix, mais en utilisant IST. Quelqu'un peut-il préciser si l'axiome du choix est vraiment nécessaire pour construire la base de la théorie (par exemple pour construire l'ombre d'un réel)? Est-ce juste une facilité de la part de Diener et Reeb de l'avoir pris ou bien juste une cohérence historique (car Robinson l'avait utilisé au départ) ? Peut-on construire des fonctions non standard non mesurables sans l'axiome du choix ?

Je n'ai pas l'impression que l'IST version Nelson utilise l'axiome du choix, mais je n'ai pas étudié la question à fond, donc ma réponse est sous toute réserve. Quant à la question finale, je ne connais pas de telle construction. Si l'IST permettait de construire une fonction non standard non mesurable, alors bien sûr, on aurait trouvé une fonction non mesurable. Ce dernier résultat ne faisant pas appel à la notion de standard serait alors un résultat classique, et on aurait prouvé qu'en analyse classique, il existe une fonction non mesurable. Et sans faire appel à l'axiome du choix. Ce qui jette quelque doute sur la possibilité d'une telle construction.Theon 20 fev 2005 à 14:53 (CET)

La NSA ne nécessite pas au départ l'utilisation de l'axiome de choix mais pour démontrer l'existence de nombres hyperréels , il faut utiliser un ultra-filtre qui lui nécessite l'axiome de choix--193.190.196.70 17 mars 2006 à 14:10 (CET)

[modifier] Remarques diverses

Précisons d'abord que je ne suis pas un expert en la question.

Dans 2.1: il est question d'une relation 'classique' (le terme est défini juste après, c'est bon) ; néanmoins je me suis posé la question: définie sur quoi? Faut-il qu'elle soit définie sur un ensemble standard, interne, quelconque? Le fait que par la suite, dans les exemples, on précise systématiquement pour chaque relation dans quoi vivent les éléments me fait penser que ce n'est pas vraiment une relation au sens ensembliste (partie du produit de deux ensembles), mais au sens de formule logique. C'est ça?

Dans 2.1.2, il est dit que "L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément charmé (ou non-standard) x " ; or d'après l'énoncé de cet axiome, il se contente de fournir un élément, mais ne précise pas sa nature.

Dans 5.1, il est question d'une définition plus simple de la continuité. En fait, j'ai plutôt l'impression qu'il s'agit d'une caractérisation de la continuité, et qui plus est d'une fonction standard...

Snark 1 août 2005 à 14:29 (CEST)

Une relation classique, une proposition classique, etc... est une relation, une proposition, etc... des mathématiques usuelles. Elles n'utilisent pas le concept de standard. Exemple, tel entier est pair, x est inférieur à y, ... sont classiques

Dans 2.1.2 x est non stantard, car différent des éléments standard

Dans 5.1, la définition donnée est effectivement équivalente à la définition de la continuité pour les fonctions standard.

Theon 23 août 2005 à 16:05

[modifier] Erreur possible

Dans le paragraphe 2.2 "axiome de transfert", il est dit que "Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b". Or, zéro est un nombre standard, un aussi, mais 1/0 ne l'est pas (si j'ai compris quelque chose à l'article, je suis pas matheux)... Donc il faudrait préciser que le quotient de deux nombres standards ne l'est pas nécessairement. Cela dit je ne me permettrai pas de modifier moi même, n'étant pas sûr de mon coup.

GustouristE 12 juillet 2007 à 22:07

b doit effectivement être non nul car sinon a/b n'est pas défini, que a et/ou b soient standard ou non. L'article veut simplement souligner qu'à partir d'objets standard, on ne pourra définir que des objets standard. Si on définit un ensemble dans lequel 1/0 a un sens sans utiliser la notion de standard (par exemple la droite projective), alors 1/0 sera standard dans cet ensemble. Theon 13 juillet 2007 à 10:56 (CEST)

Sur la partie des nombres réels, il me semble qu'il faille dire "les infinitésimaux sont les réels strictement positifs plus petits que tout réel standard strictement positif sauf 0". Il risque sinon d'y avoir confusion avec les opposés des infiniments grands.

Je ne modifie pas l'article moi-même par respect des auteurs originaux. Si je me trompe, désolé, mais dans ce cas il serait bon d'apporter une clarification.

Un infinitésimal n'est pas nécessairement positif. L'opposé d'un infinitésimal en est un aussi. C'est pourquoi l'article parle des réels inférieurs en valeur absolue à tout réel standard. Mais bien entendu, ce dernier doit être positif puisqu'il majore une valeur absolue. Theon (d) 7 février 2008 à 18:09 (CET)

[modifier] Diverses questions, ou fautes potentielles

Je ne suis pas assez avancé pour voir si ce sont vraiment des fautes, mais si je me pose la question, je pense que je dois pas être le seul, et si quelqu'un peut apporter des précision se serait bien.

L'Analyse non standard est, au début, extrêmement déroutante, et je pense que quiconque qui s'y initie est amené à se poser les questions que tu te poses et à se confronter à des questions qui paraissent a priori paradoxales. La réponse à ces questions permet alors de se rendre compte de l'extrême soin qui a présidé au choix des axiomes.Theon (d) 10 mai 2008 à 18:45 (CEST)

A propos de "il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E", serait-il possible de donner une définition d'une partie finie dans le cas de l'analyse non standard. Car la démonstration montre qu'il existe un ensemble contenant tout les élements standard. (ce qui est évident, il suffit de prendre l'ensemble sur lequel on travaille), mais ne permet pas de voir qu'il n'existe qu'un nombre fini d'élement dans cette ensemble.

La définition d'un ensemble fini en analyse non standard ne diffère pas de la définition classique. L'analyse non standard ne modifie en rien l'analyse classique en ce qui concerne les notions ne faisant pas appel au prédicat standard. La démonstration utilise l'axiome d'idéalisation appliquée sur une relation précisant explicitement que X est fini. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:33 (CEST)

A propos des entiers "si P(0) est vrai, et si pour tout n standard, P(n) implique P(n+1), alors pour tout n standard, P(n) est vérifié." Pourquoi avec l'axiome de transfert ne s'applique pas? Pour tout x standard, F(x, E1, ..., En) si et seulement si pour tout x, F(x, E1, ..., En), en remplaçant F(x, E1, ..., En) par P(n), on aurait, puisque P est vrai pour tout n standard, alors P est vrai pour tout n.

Parce que, comme précisé dans les hypothèses de l'axiome de transfert, celui-ci ne s'applique que sur des propriétés F classiques. Si P est une propriété classique (n'utilisant pas la notion de standard), alors, comme en analyse classique, la récurrence est valide. Mais si P est non classique (utilise la notion de standard), alors la propriété de récurrence ne s'applique plus. Exemple : P(n) si et seulement si n est standard. On a bien 0 qui est standard, si P(n) est vrai, alors P(n+1) aussi, mais P n'est pas vrai pour tout n. L'article précise cependant qu'une récurrence restreinte s'applique de la façon suivante : P(n) est vrai pour les entiers standard. Intuitivement, la récurrence ne s'applique que sur les entiers accessibles, les entiers standard. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:40 (CEST)