Discuter:Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

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Le tire de l'article parle d'algorithmes. Il serait mieux de parler de méthodes (ou trouver un autre mot), dans le sens où algorithme laisse penser à un processus calculatoire conduisant de manière certaine à la racine désirée. Or il n'en est rien.

Posons par exemple an = 0 si n17 + 9 et (n + 1)17 + 9 sont premiers entre eux, an = 1 si n17 + 9 et (n + 1)17 + 9 ne sont pas premiers entre eux et que n est pair, an = − 1 si n17 + 9 et (n + 1)17 + 9 ne sont pas premiers entre eux et que n est impair. Posons a=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}. Considérons maintenant la fonction f affine sur les intervalles [0, \frac{1}{3}], [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] et [\frac{2}{3}, 1] et telle que f(0) = − 1, f(1) = 1, f(1 / 3) = f(2 / 3) = a. Donner une valeur approchée de c tel que f(c)=0, à 1/10 près et préciser quel algorithme a été utilisé. On notera qu'on est parfaitement capable de calculer une valeur approchée de a à toute précision demandée, ainsi que toute valeur approchée de f(x) pourvu qu'on ait donné une valeur approchée adéquate de x.

La dichotomie par exemple demande de déterminer le signe de f(1 / 2) = a. Pour cela il suffit de déterminer le signe du premier terme non nul de la suite (an) s'il en existe. Malheureusement, il n'existe aucun algorithme général répondant à ce genre de question et s'appliquant à n'importe quelle suite (an). (Si quelqu'un connaît la réponse dans l'exemple que j'ai donné, il est loisible de modifier cet exemple par un autre analogue). Contrairement à ce qu'on croît, la dichotomie n'est pas un processus constructif, et d'ailleurs, le théorème des valeurs intermédiaires n'est pas admis sous cette forme en analyse constructive. (cf Erret Bishop, Douglas Bridges, Constructive analysis, Springer-Verlag (1985), p.8).

A noter que que, si a>0, la valeur c telle que f(c) = 0 est inférieure à 1/3 ; si a<0, la valeur c telle que f(c) = 0 est supérieure à 2/3, et on est incapable en général de donner la moindre valeur approchée potable de c.

Voir aussi Discuter:Théorème des valeurs intermédiaires. Theon (d) 29 janvier 2008 à 18:49 (CET)