Discuter:Addition dans l'arithmétique de Peano

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[modifier] Renommage

Quelqu'un aurait-il une objection à ce que cet article soit renommé Addition des entiers de Peano ? Ambigraphe, le 16 octobre 2007 à 09:30 (CEST)

Je ne sais pas si les entiers de Peano existent, pour moi ce sont les entiers naturels, mais ceux de Paeno non. Ca ne serait pas plutôt "addition dans l'arithmétique de Peano" ? Proz (d) 25 novembre 2007 à 19:18 (CET) J'ai repris en partant du principe que l'arithmétique de Peano est une théorie du premier ordre. Pour le renommage : il faut bien-sûr le faire, et faire disparaître le titre mal orthographié ensuite, mais j'attend un accord sur le titre. Proz (d) 25 novembre 2007 à 21:42 (CET)

Ce qui m'embête, c'est que le terme « arithmétique de Peano » recouvre des notions de théorie de la démonstration qui dépassent la seule définition de l'addition. Si Peano n'est pas le détenteur des entiers naturels, il est en revanche l'auteur d'un modèle des entiers et il me semble admissible de parler des entiers de Peano pour raccourcir l'expression entiers du modèle de Peano.

Cela dit, fusionner cet article en Arithmétique de Peano est peut-être une bonne idée. Ambigraphe, le 26 novembre 2007 à 17:57 (CET)

Pour tout te dire je ne sais plus trop ce que Peano a fait (j'ai parcouru une traduction anglaise de l'article il y a longtemps, je peux m'y remettre), mais un modèle je ne crois pas (pas la façon de penser de l'époque), c'était je crois une théorie du second ordre (on a droit aux ensembles d'entiers). Aujourd'hui l'arithmétique de Peano c'est plutôt celle du premier ordre (chez les logiciens en tout cas). Le modèle ce sont les entiers naturels, je n'ai jamais entendu parlé d'un modèle de Peano. J'ai revu l'historique : qu'est-ce qui gênait dans le titre "addition des entiers naturels" ? Ne peut-on le garder et tirer dans un sens moins formaliste ? Ou bien c'est pris par un autre article ? Proz (d) 26 novembre 2007 à 22:18 (CET)

Pour être franc, je ne connais pas bien la théorie de la démonstration et pas beaucoup plus les modèles. Mais ce qui me gênait dans le titre précédent était l'assignation des entiers naturels à leur définition axiomatique moderne, alors que leur définition élémentaire n'a pas eu besoin de cela pour se former. Le titre ne correspondait pas au contenu.

Voilà pourquoi il serait peut-être encore plus juste de renommer cet article Addition des entiers naturels dans l'axiomatique de Peano, ce qui est un peu lourd il faut l'avouer. D'où ma propostion de fusion avec l'arithmétique de Peano. Ambigraphe, le 27 novembre 2007 à 09:15 (CET)

"addition des entiers naturels" demanderait probablement beaucoup de travail supplémentaire. Fusion : les démonstrations de commutativité et d'associativité, c'est vraiment du détail, ça va encombrer dans arithmétique de Peano. Tu ne veux vraiment pas addition dans l'arithmétique de Peano (même sens me semble-t-il que ce que tu proposes, et titre moins lourd) ? On a bien besoin de la récurrence, donc on ne s'est pas restreint à seule la définition de l'addition. Il s'agit juste pour le moment de faire disparaître la faute d'orthographe. Proz (d) 27 novembre 2007 à 21:59 (CET)

Et si on faisait un article Opérations dans l'arithmétique de Peano pour y mettre les démonstrations concernant l'addition et la multiplication ? Après tout, il doit y avoir des similarités, ça a du sens de les rapprocher et la taille de l'article ne devrait pas trop exploser. Ambigraphe, le 27 novembre 2007 à 22:24 (CET)

Pas contre (sans enthousiasme, pas sûr que ce soit à faire tout de suite), c'est une orientation possible. Je te laisse choisir et procéder. Proz (d) 29 novembre 2007 à 00:57 (CET)PS. Je me suis permis d'enlever l'accent.

En attendant l'enthousiasme, j'adhère alors à ta proposition de renommer l'article Addition dans l'arithmétique de Peano. Il sera temps plus tard de fusionner si quelqu'un connaît bien le domaine (ce qui n'est pas vraiment mon cas). Ambigraphe, le 29 novembre 2007 à 09:21 (CET)

fait, d'accord sur le fait que ce n'est pas forcément définitif. Proz (d) 30 novembre 2007 à 00:39 (CET)

[modifier] Remarques sur l'article en général

Tout d'abord, l'article est à mon gout déjà fort intéressant. Je suis avec délectation les progrès de WP en logique, domaine ludique et passionnant et en apprend tout les jours. Ensuite, mon niveau sur la question étant naïf, c'est le parti que je prend pour faire mes remarques.

Quand j'étais petit, on m'a expliqué : si tu admets l'existence d'un ensemble vide et des axiomes logiques que notre intuition rend inconstestable, tu construit toutes les mathématiques. D'ailleurs, pour le prouver on te construira tout, à condition que tu admettes N, l'ensemble des entiers. Pour les axiomes, quand tu ne sais pas tu invoques la puissance occulte ZFC, et si tu veux pouvoir être pédant, tu apprend l'axiome du choix et la démonstration du lemme de Zorn et basta cosi.

Je suis toujours resté sur ma faim, pourquoi admettre N s'il existe une solution élégante qui ne s'appuie que sur l'existence de l'ensemble vide, je suis émoustillé. J'avais l'impression naïve que l'article allait répondre à toutes les questions que je me pose sans avoir jamais osé les demander. Je dois dire que les démonstrations de la commutativité ou de l'associativité me plaisent bien. En bref, et ici je suis un client content.

En revanche, je reste sur ma faim sur deux questions : quel est cette étrange ensemble N, dois-je supposer son existence en début d'article ? si tel est le cas je suis un peu déçu. Ensuite qu'est ce que le raisonnement par récurrence ? un axiome, mais je ne sais imaginer une formulation ! une proposition et je sais encore moins la démontrer. Bref, j'en suis réduit à me mordre la queue (c'est très douloureux). Mes remarques concernent-elles le bon article, je ne sais pas. Cependant pour l'instant, je ne sais pas si le savoir est dans WP et pour cette raison, subsiste en moi une légère frustration. Si ce n'est pas pour comprendre et construire l'addition dans le cas le plus simple, l'intérêt ne me semble pas encore à la hauteur de l'article sur Gödel, un indépassable sommet de notre chère WP. Jean-Luc W (d) 29 novembre 2007 à 16:07 (CET)

Eh, bien, je ne soupçonnais pas que cet article (que j'ai juste un peu augmenté sur la partie définition intuitive, et corrigé de façon mineure ailleurs) puisse susciter autant de commentaires ! Le raisonnement par récurrence est formalisé, dans l'arithmétique de Peano du premier ordre, par une infinité d'axiomes (c'est dans arithmétique de Peano, article probablement à retravailler en premier). L'axiomatique de Peano est ce que l'on appelait je crois une définition implicite des entiers. Mais on sait que l'on n'y arrivera jamais vraiment (il y a d'autre modèles). Je suppose que tu fais allusion aux définitions des entiers en théorie des ensembles. Mais, est-ce que la définition des entiers en théorie des ensembles explique vraiment ce que sont les entiers (en plus il y en a plusieurs possibles) ? Bon je retiens que l'intro est à réécrire, effectivement il n'y a pas à supposer l'existence de N. Proz (d) 30 novembre 2007 à 01:07 (CET)

Si tu t'occupes d'un article, ne t'étonnes pas qu'il soit immédiatement lu par plusieurs d'entre nous. Pour moi, il devient tout d'un coup intéressant et je me sens plus libre d'exprimer (à tort ou à raison) mes sentiments, car je deviens lecteur potentiel. J'ai deux questions : à qui s'adresse l'article? Si c'est ma fille (neuf ans) alors le coup des bonbons cela marche très bien. Je suppose néanmoins qu'elle se fout de l'addition pour Péano. Si c'est moi, le coup des bonbons ne me gène guère, même si je n'en vois pas bien l'utilité. Deuxième question, à quoi ça sert ? J'ai l'impression que l'objectif est de définir l'addition, sans savoir vraiment si j'ai raison. J'imagine que si N est construit et si l'addition est définie, alors la multiplication n'est pas un vrai problème et les propriétés de base, comme le fait que N soit archimédien ne doit plus être si problématique à démontrer. Si la méthode n'est pas vraiment la bonne (une infinité d'axiomes cela me semble un peu cher), j'aimerais comprendre pourquoi et surtout comment il fallait s'y prendre pour atteindre ce sommet, c'est à dire : construire les maths à partir de presque rien. Merci en tout cas pour le plaisir que tu nous apporte à la lecture de ta prose. Jean-Luc W (d) 30 novembre 2007 à 10:01 (CET)

Il est en general impossible dans une theorie quelconque des ensembles de construire l'ensemble des entiers naturels a partir de l'ensemble vide. En particulier, car il est possible de presenter une theorie consistante dans laquelle tout ensemble est fini au sens de Tarski, autrement dit, dans laquelle toute injection d'un ensemble dans lui-meme est surjective. Pour construire N, il faut admettre l'existence d'un ensemble infini (axiome supplementaire).

L'approche ici prise consiste a axiomatiser des proprietes verifiees par l'ensemble des entiers naturels qui serait defini dans tout modele de la theorie ZF (comprenant l'axiome de l'infini). Cette axiomatisation montre que et l'addition et la multiplication se definissent uniquement a partir de l'application +1 et du principe de recurrence. Le principe de recurrence se traduit par une famille d'axiomes ; mais dans un modele, il est verifie par l'ensemble des entiers naturels N, car equivalent a sa "definition" : il n'existe pas de parties (internes) de N contenant 0 et stables par l'application successeur (n->n+1).

A remarquer que les travaux de Peano et de ses contemporains excluaient le zero.

Cette reponse vous satisfait-elle ? 129.104.3.5 30 novembre 2007 à 12:47 signature ajoutée

La première partie de la réponse est aussi limpide que l'eau de source des montagnes Himalayennes. L'approche prise ici correspond à mon attente, quand je lis l'article, je cherche la réponse à la question comment construire N avec une axiomatique raisonnable. Si cette axiomatique n'est pas celle historique de Péano, mon coté humaniste apprécie de savoir que le grand homme n'avait pas trouvé la solution la plus simple, mais je cherche de fait uniquement à comprendre la réponse la plus simple, donc l'approche de l'article.

Cette limpidité devient plus brumeuse sur la partie II. J'apprend avec surprise que l'axiome de l'infini est indispensable. En réfléchissant, je me dis bien que s'il existe, c'est bien pour servir dans ce cas particulier, je trouve donc finalement cela point trop étonnant. En revanche, l'idée que l'application n -> n+1 soit bijective dans une autre théorie me donne un peu le vertige. Tel n'est pas le sujet de l'article et je comprend que cette question nous mènerait trop loin pour parler comme Poincaré. La brume réside dans l'articulation de la définition de N et ZF ? Cette définition utilise-t-elle l'axiome de l'infini, comment la formuler à partir de ZF ? En bref, comment se formule ce mystérieux tour de passe-passe logique qu'est la récurrence ?

En conclusion, et au détail près du tour de passe-passe, je suis très satisfait. Ai-je raison d'imaginer que ce savoir à sa place dans WP. Si j'ai raison, l'article incriminé est-il le bon ? Jean-Luc W 30 novembre 2007 à 19:19 (CET)

Je suppose que ce dont veut parler 129.104.3.5, c'est d'un modèle de la théorie des ensembles sans axiome de l'infini, qui contient une infinité d'ensembles, sur lequel on peut définir l'opération successeur de von Neumann, on peut définir chacun des entiers comme un ensemble, mais pas d'ensemble des entiers (pas moyen d'utiliser la compréhension). Mais ça ne dit pas que n -> n+1 soit bijective (si elle est définie à la von Neumann, et vérifie en particulier n+1\neq 0), juste qu'elle n'est pas définie sur une ensemble (au fait ll y a un article Construction des entiers naturels). J'ai l'impression que la définition axiomatique des entiers se comprend directement : pas besoin de faire appel à la théorie des ensembles, c'est plus simple a priori. Par contre les questions de cardinalité et d'ordinalité sont liées. La question de la définition des entiers a fait couler beaucoup d'encre (et je n'ai pas lu grand chose), Poincaré à écrit sur la récurrence justement. La formalisation de la récurrence en théorie des ensembles, c'est de toute façon plus ou moins un tour de passe-passe.

Je reprend tes questions : à qui s'adresse l'article ? Bonne question ... pas à ta fille de 9 ans en tout cas. Oui, le coup des bonbons (que j'ai laissé tel quel), ça nécessite aussi une réécriture. Pourquoi s'intéresser à l'addition : parce que c'est simple. Je dirai que pour le moment l'article pourrait viser à faire comprendre pourquoi on axiomatise de cette façon l'addition dans l'arithmétique de Peano, et en quoi d'une certaine façon ça n'est pas si arbitraire, lié à une définition un peu "intrinsèque" des entiers. Mais dans ce cas j'ai l'impression qu'il faudrait parler de cardinaux et d'ordinaux (finis), de façon naïve. Proz 30 novembre 2007 à 23:31 (CET)

[modifier] Récurrence

L'article me semble maintenant plus cohérent. Ne pas traiter la problématique des ensembles finis au sens de Tarski me semble en effet la bonne approche, l'objectif est d'être simple et compréhensible. Evacuer par un lien rouge la délicate question de la récurrence est-t-elle une bonne démarche? Seul le mystérieux contenu de ce lien nous l'apprendra. Suite au prochain numéro. En attendant avec impatience les prochaines contributions de Proz, merci pour ces passionnantes contributions... Jean-Luc W (d) 8 décembre 2007 à 12:32 (CET)

PS un livre de référence pour faire plaisir au puriste ? cela ne mange pas de pain et fait plaisir à certains.