Équation de Sellmeier

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$Un graphique de l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde en utilisant l'équation de Sellmeier pour du verre BK7.$

Un graphique de l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde en utilisant l'équation de Sellmeier pour du verre BK7.

En optique, l'équation de Sellmeier est une relation empirique entre l'indice de réfraction n et la longueur d'onde λ pour un milieu transparent donné. La forme habituelle de cette équation pour les verres est^[1]:

$n^2(\lambda) = 1 + \frac{B_1 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_1} + \frac{B_2 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_2} + \frac{B_3 \lambda^2 }{ \lambda^2 - C_3}$

où B_1,2,3 et C_1,2,3 sont les coefficients de Sellmeier déterminés expérimentalement. Ces coefficients sont généralement déterminés pour λ mesuré en microns. λ est la longueur d'onde dans le vide et non pas celle dans le milieu d'intérêt, qui est λ/n(λ).

Cette équation est utilisée pour déterminer la dispersion de la lumière dans un milieu réfringent. Une différente forme de l'équation est parfois utilisée pour certains types de matériaux, par exemple les cristaux.

Cette équation a été trouvée en 1871 par W. Sellmeier, et était un développement du travail de Augustin Cauchy sur l'équation de Cauchy pour modéliser la dispersion.

Les coefficients de Sellmeier pour plusieurs verres optiques communs peuvent êtres trouvés dans le catalogue de Schott^[2]. Dans sa forme la plus générale, l'équation de Sellmeier est:

$n^2(\lambda) = 1 + \sum_i \frac{B_i \lambda^2}{\lambda^2 - C_i}$

où chaque terme de la somme représente une résonance d'absorption de force B_i à la longueur d'onde √C_i. Par exemple, les coefficients pour le BK7 ci-dessous correspondent à deux résonance d'absorption dans l'ultraviolet, est une dans l'infrarouge. Près de chaque pic d'absorption, l'équation donne la valeur non-physique de n=±∞, et un modèle de dispersion plus précis, tel que le modèle de dispersion d'Helmoltz, est requis pour décrire adéquatement ces régions.

Aux longues longueurs d'ondes loin des pics d'absorption, la valeur de n tend vers :

$\begin{matrix} n \approx \sqrt{1 + \sum_i B_i } \approx \sqrt{\varepsilon_r} \end{matrix}$

où ε_r est la constante diélectrique relative du milieu.

L'équation de Sellmeier peut également prendre la forme :

$n^2(\lambda) = A + \frac{B_1 \lambda^2}{\lambda^2 - C_1} + \frac{ B_2 \lambda^2}{\lambda^2 - C_2}$

où le coefficient A est une approximation de la contribution de l'absorption des courtes longueurs d'ondes (par exemple, ultraviolet) à l'indice de réfraction dans les longueurs d'ondes plus grandes.

Table de coefficients de l'équation de Sellmeier
Matériau	B₁	B₂	B₃	C₁	C₂	C₃
Al₂O₃ Alumine (pour l'onde ordinaire)	1.43134930	6.5054713x10⁻¹	5.3414021	5.2799261x10⁻³µm²	1.42382647x10⁻²µm²	3.25017834x10²µm²
Al₂O₃ Alumine (pour l'onde extraordinaire)	1.5039759	5.5069141x10⁻¹	6.5937379	5.48041129x10⁻³µm²	1.47994281x10⁻²µm²	4.0289514x10²µm²
BK7	1.03961212	2.31792344x10⁻¹	1.01046945	6.00069867x10⁻³µm²	2.00179144x10⁻²µm²	1.03560653x10²µm²

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