Équation de Fokker-Planck

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Chercher la réponse d'un système donné à une excitation est un problème courant en physique et dans diverses techniques. Cette réponse est généralement définie par une équation différentielle ou plus généralement par un système différentiel à plusieurs variables. Pour la simplicité de l'exposé on s'en tiendra à une équation classique du second ordre, cette équation correspondant en particulier aux oscillations d'un système mécanique muni d'une force de rappel et d'un amortissement (voir Systèmes oscillants à un degré de liberté).

Le problème le plus courant concerne une excitation sinusoïdale. Si l'équation est linéaire la réponse est elle-même sinusoïdale. Au contraire, lorsqu'elle contient des termes non linéaires on ne peut en général trouver que des solutions approchées : solutions numériques, recherche d'une approximation sinusoïdale par la linéarisation équivalente ou développement en une suite de sinusoïdes par la méthode des perturbations.

On rencontre parfois aussi des équations différentielles stochastiques dans lesquelles l'excitation est représentée par un processus aléatoire qui est en gros un ensemble de fonctions possédant les mêmes propriétés statistiques. Dans ces conditions la solution est également un processus aléatoire caractérisé par une densité de probabilité qui concerne, pour le second ordre, les excursions et les vitesses.

Si on se limite à une excitation gaussienne, la réponse donnée par une équation linéaire est également gaussienne et peut se déterminer au moyen des techniques de description spectrale.

Dans le cas d'une équation non linéaire, la probabilité jointe des mouvements et des vitesses est donnée par une équation aux dérivées partielles nommée équation de Fokker-Planck. Comme la plupart des équations aux dérivées partielles, elle ne donne des solutions explicites que dans des cas bien particuliers portant à la fois sur la forme de l'équation et sur la nature de l'excitation.

[modifier] Expression générale de l'équation

Pour une distribution de probabilités dépendant de N variables:

$\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],$

où $D 1$ est le vecteur de tendance (drift) et $D 2$ le tenseur de diffusion

[modifier] Exemple

Ainsi, pour l'équation du second ordre, il est commode de supposer que l'excitation est approximativement un bruit blanc, ce qui est convenable pour un système peu amorti. La méthode s'applique en particulier à l'équation possédant une force de rappel non linéaire :

$M \ddot{X} + B \dot{X} + h(X) = F(t)$

dans laquelle F(t) représente un bruit blanc gaussien de densité spectrale S₀ (densité exprimée en unités au carré par radian par seconde).

La densité de probabilité jointe de l'excursion et de la vitesse s'écrit

$p_{X \dot{X}}(x,\dot{x}) = C e^{-{B \mathcal{E}}/{\pi S_0}}$

Dans cette formule, $\mathcal{E} = {1\over 2}\,M\,{\dot{x}^2}\,+\,\int_0^x h(\xi) d\xi$ est l'énergie totale du système non amorti. La densité de probabilité de la vitesse reste gaussienne tandis que celle de l'excursion ne l'est plus. Elle le redevient évidemment lorsque la fonction h est linéaire.

Il est remarquable que cette solution, relativement simple, soit exacte alors qu'il n'existe rien de tel pour une excitation sinusoïdale.

D'autre part, une telle solution exacte n'existe pas si c'est l'amortissement qui est non linéaire ; dans ce cas il existe une solution exacte pour une équation plus abstraite qui fournit une approximation non linéaire meilleure que l'approximation linéaire.

[modifier] Cas du mouvement brownien

Dans le cas d'un mouvement d'une particule et dans le cadre de l'équation de Smoluchowski qui concerne les particules telles que $\gamma v\gg m a$ , typiquement des molécules, ou objets de masse "négligeable" (molécules athmosphériques, protéines en biologie... ):

$\dot{X}+\frac{F(X)}{\gamma}=\sigma B$

où B et un bruit blanc, $\textstyle \gamma$ le coefficient de viscosité et F(x) un champ de forces. Si p(x,t) est la probabilité de trouver la particule au point x à l'instant t, par application du lemme d'Itô on a alors:

$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\frac{\sigma^2}{2\gamma^2} \triangle p (x,t) +\nabla \left(\frac{F(x)}{\gamma} p(x,t)\right)$

où $\textstyle \frac{\sigma^2}{2\gamma^2}=D$ le coefficient de diffusion.

Cette équation de Fokker Planck particulière permet alors, avec des conditions aux bords et à l'origine adéquats, d'étudier le mouvement brownien d'une particule dans un champ de forces.

[modifier] Reférences

Lin, Y. K. : "Probabilistic Theory of Structural Dynamics", Robert E. Krieger Publishing Company, New York (1967)
I. Kosztin, Non-Equilibrium Statistical Mechanics chap 4: Smoluchowski Diffusion Equation, http://www.ks.uiuc.edu/~kosztin/PHYCS498NSM/LectureNotes/chp4.pdf
H. Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
S. Redner: A guide to first passage processes. Cambridge University Press, (2001)