Bruit blanc

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Échantillon de bruit blanc

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit d'un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données.

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (en fait plutôt 25 Hz-19 kHz). L'impression obtenue est celle d'un souffle.

Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence ; en ordonnée, l'intensité

Le son produit lors de l'effet de « neige » sur un téléviseur non réglé est un très bon exemple de bruit blanc. Le bruit des gouttes d'eau tombant sur un toit est aussi un bruit blanc car les gouttes d'eau tombent d'hauteurs différentes et ont ainsi des énergies différentes qui provoque un spectre de fréquence large ^{[réf. nécessaire]}

Sommaire

1 Bruit blanc sonore
2 Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles
3 Bruit blanc et simulations
4 Bruit blanc et statistique
5 Références
6 Voir aussi

[modifier] Bruit blanc sonore

Le bruit blanc, à l'instar de la lumière blanche qui est un mélange de toutes les couleurs, est composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de 3 dB par octave ^[1].

[modifier] Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles

En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une énergie infinie). Il n'existe donc, comme dans l'exemple qui précède, que des bruits blancs limités à une bande de fréquences.

Cette notion de bruit blanc est intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

[modifier] Bruit blanc et simulations

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S₀ échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à ½T (voir Théorème de Shannon). Il possède donc une variance finie qui s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ₂ = S₀/2T.

Ce bruit blanc est considéré comme une réalisation d'un processus aléatoire décrit, outre sa densité spectrale, par une loi de probabilité (voir Variable aléatoire).

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice

X = A cosΦ

$Φ$ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, $σ 2$ étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

${F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}$

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

$a = \sigma \sqrt{-2 \ln (1-r)}$

À partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier, en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.

[modifier] Bruit blanc et statistique

Dans l'étude des séries temporelles en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Selon Hamilton (1994)^[2] :

Déf Un processus $ε t$ est qualifié de bruit blanc si :

$E[\epsilon_t]=0 \,$
$E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2$
$E[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0 \qquad \forall t \ne \tau$

Un processus de bruit blanc est donc par définition stationnaire.

Déf Un processus $ε t$ est qualifié de bruit blanc indépendant si :

$E[\epsilon_t]=0 \,$
$E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2$
$\epsilon_t\,$ et $\epsilon_{\tau} \,$ sont indépendants $\forall t \ne \tau$

Déf Finalement, si en plus des dernières définitions :

$\epsilon \sim \mathcal {N} (0,1) \,$

Le processus $ε t$ est qualifié de bruit blanc gaussien.

[modifier] Références

↑ Christian Hugonnet et Pierre Walder, Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique, éditions Eyrolles , Paris, deuxième édition 1998, p. 32
↑ Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994