Vecteur nul

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Dans un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) K, le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Il peut être noté 0_E\, ou \mathbf{0} ou encore \vec{0}, ou tout simplement 0 avec abus de langage.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si a et b sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors a = a + b = b.

[modifier] Propriétés et remarques

  • Il est le résultat de la multiplication par le scalaire 0_K\, de n'importe quel vecteur de E.
  • Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire f:E\rightarrow F, le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : f(0E) = 0F.
  • L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire f est appelée noyau de l'application linéaire f.
  • L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

[modifier] Exemples

  • K étant un corps commutatif, dans l'espace vectoriel (K, +, \cdot ), le vecteur nul est l'élément neutre additif de K, c'est-à-dire 0K.
  • Dans leK-espace vectoriel Kn, le vecteur nul est le n-uplet (0, \ldots, 0) où 0 est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
  • Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
  • Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace \mathcal{F}(X,R) des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
  • Dans l'espace vectoriel \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) des fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, le vecteur nul est la fonction nulle.
  • Dans l'espace vectoriel K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K, le vecteur nul est le polynôme nul.
  • Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples formés d'un seul point.
  • L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul.