Espace nul
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En algèbre linéaire, l'espace nul sur un corps K est l'unique K-espace vectoriel de dimension 0. Cet espace ne possède qu'un unique élément, noté 0. Les lois d'addition et de multiplication scalaire sont les suivantes :
- 0 + 0 = 0
L'espace nul vérifie les propriétés remarquables suivantes :
- L'espace nul est l'unique structure d'espace vectoriel de cardinal 1. Si K est un corps infini, c'est l'unique espace vectoriel fini sur K.
- L'espace nul comporte une unique base, et cette base ne contient aucun vecteur (elle est indicée par l'ensemble vide).
- L'espace nul est à isomorphisme près le seul espace vectoriel à se plonger dans tous les K-espaces vectoriels. De plus le plongement de l'espace nul dans un K-espace vectoriel donné est unique, c'est l'application nulle.
- En d'autres termes, l'espace nul est l'objet initial de la catégorie des K-espaces vectoriels.
- L'espace nul est à isomorphisme près le seul espace vectoriel sur lequel se surjecte tout K-espace vectoriel. De plus, la surjection d'un K-espace vectoriel donné sur l'espace nul est unique, c'est l'application nulle.
- En d'autres termes, l'espace nul est l'objet final de la catégorie des K-espaces vectoriels.
- En topologie, pour K=R, l'espace nul est appelé le point. Il figure dans certaines séries d'espaces topologiques, dont la série des simplexes.
- Dans un espace vectoriel euclidien E, l'orthogonal de E est l'espace nul, et l'orthogonal de l'espace nul est E.
[modifier] Structure aditionnelle
Soit E = {0} l'espace nul. L'identité 0.0=0 définit une loi produit sur E. Pour autant, E n'est pas considéré comme un anneau. Il vérifie toutes les propriétés de compatibilité entre les structures additive et multiplicative. Cependant, pour éviter ce cas critique, on demande à ce que l'élément 1 diffère de l'élément 0.
