Vecteur d'onde

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En physique, un vecteur d'onde (ou « vecteur de phase » notamment en électronique) est comme son nom l'indique un vecteur représentant une onde. La norme du vecteur correspond au nombre d'onde (lié à l'inverse de la longueur d'onde), et sa direction indique la direction de propagation de l'onde.

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une onde à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même longueur d'onde, elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'onde respectant ces conditions est celle d'une onde plane, pour laquelle la famille d'ondes est également cohérente (toutes les ondes possèdent la même phase).

Par exemple, une représentation courante d'une onde en un point de l'espace est :

$\psi \left(t\right) = A \cos \left(\phi + \omega t\right)\,$

A est l'amplitude de l'onde.
ω est la fréquence angulaire ou pulsation.
φ est le déphasage de l'onde.
t est la variable temps.

Pour généraliser cette équation à tous les points d'un espace unidimensionnel dans la direction de propagation, il est nécessaire d'ajouter un second terme de déphasage :

$\psi \left(t , z\right) = A \cos \left(\phi - k z + \omega t\right)\,$

k est le nombre d'onde.
z est la variable d'espace dans la direction de propagation.

Dans le cas d'un espace à trois dimensions et dans le cas d'ondes planes, il est aisé de généraliser la formule précédente en remplaçant le nombre d'onde k par le vecteur d'onde $\vec k$

et la variable d'espace z par le vecteur position $\vec r$

$\psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A \cos \left( \phi - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} + \omega t \right) \,$

Le raisonnement est similaire pour des ondes "non planes", mais avec une amplitude A dépendant de la position.

[modifier] Passage en complexe

Le passage en nombres complexes est mal vu par certains physiciens qui préfèrent conserver jusqu'au bout du calcul des valeurs réelles (avec des cosinus et des sinus).

$\psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{ i \phi } \cdot e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) }$

On peut très bien utiliser cette équation pour des ondes à la surface d'un liquide par exemple : $ψ$ pouvant alors désigner l'amplitude des vagues ou la vitesse locale du liquide.

[modifier] Onde plane électromagnétique

La valeur $ψ$ peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ electrique

$\vec {\mathbf E} = \begin{bmatrix} E_{0} \cdot e^{ i \phi_{E} }\cdot e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique

$\vec {\mathbf B} = \begin{bmatrix} 0 \\ B_{0} \cdot e^{ i \phi_{B} }\cdot e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Dans le cas de l'approximation d'une onde plane ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un trièdre orthogonal.

$\vec {\mathbf K} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ k_{z} \\ \end{bmatrix}$

De nombreuses démonstrations faites avec les nombres complexes ( et des exponentielles ) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. La seule difficulté étant de retransformer le résultat obtenu en nombre réel en suivant des règles cohérentes (c'est à dire conserver la convention de signe choisie : i ou -i).

[modifier] Lien avec la relativité

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un 4-vecteur d'onde et un 4-vecteur position issus de l'espace de Minkowski

$\psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{ i \phi } \cdot e^{ i \vec K_{4} \cdot \vec R_{4} }$

Cela s'écrit :

$\psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{ i \phi } \cdot e^{ i \begin{bmatrix} -i {\omega \over c} & k_{x} & k_{y} & k_{z} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} ict \\ x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} }$