Discuter:Variété de Calabi-Yau

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Il me semble qu'une variété de Calabi-Yau est une variété complexe (voire presque complexe ?).

Dès lors, les variétés de dimension 1, qui sont homéomorphes à des 2-tores (ie à R^2/Z^2) ne sont pas toutes isomorphes entre elles. En fait, quitte à se choisir une origine, ce sont des courbes elliptiques complexes. Or il existe une infinité de classes d'isomorphisme de ces dernières: elles sont paramétrées par un module complexe j (Invariant J). Par exemple le tore complexe C/Z[i] n'est pas isomorphe, avec sa structure complexe, à C/Z[j], où j^3=1et j différent de 1.

Dans le même ordre d'idée, les variétés de Calabi-Yau (algébriques?) qui sont homéomorphes à un 4-tore sont en fait, quitte encore à se fixer une origine, des surface abélienne. Or ces dernières ne sont pas toute isomorphes (ie par un biholomorphisme, elle sont tout de même homéomorphes). Quant aux surfaces K3 complexes, il y en a une infinité à isomorphismes complexe près: Elles sont paramétrées par un espace de modules de dimension ??( 9, 10??).

Rude Wolf 27 mars 2007 à 15:57 (CEST)

Dans le cas des surfaces abéliennes par exemple, et plus généralement des «variétés toriques»(sic), non seulement la métrique (invariante par translation) a une courbure nulle (ie elle est Ricci-plate), mais est une métrique plate (car localement isomorphe à C^2). Dès lors le groupe d'holonomie est trivial, ce n'est donc pas SU(2), contrairement à la définition «équivalente» donnée plus haut.

Rude Wolf 27 mars 2007 à 16:08 (CEST)