Tore maximal

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Dans la théorie de Lie, un tore maximal d'un groupe de Lie G est un sous-groupe de Lie commutatif, connexe et compact de G qui soit maximal pour ces propriétés. Les tores maximaux de G sont uniques à conjugaison près. De manière équivalente, c'est un sous-groupe de Lie de G, isomorphe à un tore, et maximal pour cette propriété. Le quotient du normalisateur N(T) d'un tore T par T est le groupe de Weyl associé.

Sommaire 1 Définition 2 Groupes de Lie compact 2.1 Propriétés 2.2 Groupe de Weyl 3 Groupe de Lie semi-simples

[modifier] Définition

Tout groupe de Lie commutatif connexe est isomorphe à un quotient de Rⁿ par un sous-réseau. La commutativité et la connexité impliquent en effet que l'exponentielle gG est un morphisme surjectif de groupes de Lie, dont le noyau est un sous-groupe additif discret de g. De suite, tout groupe de Lie commutatif connexe et compact est isomorphe au quotient de Rⁿ par un réseau, donc à un tore Tⁿ.

Un tore maximal d'un groupe de Lie G est par définition un sous-groupe fermé commutatif et connexe maximal, ou encore un sous-groupe de Lie isomorphe à un tore Tⁿ.

Les sous-groupes de Lie connexes de G sont exactement déterminés par les sous-algèbres de Lie de g. Dans cette correspondance biunivoque, les sous-groupes connexes et commutatifs correspondent aux sous-algèbres commutatives de g. En particulier, dans un groupe de Lie, tout sous-groupe compact commutatif connexe est inclus dans un tore maximal.

Les considérations sur les tores maximaux a son importance en particulier dans l'étude des resprésentations d'un groupe de Lie. En effet, il est facile d'obtenir la classification des représentations d'un tore.

[modifier] Groupes de Lie compact

Dans un groupe de Lie compact, l'application exponentielle est surjective. En particulier, tout élément de G appartient à l'image d'un sous-groupe à un paramètre de G. L'adhérence de cette image est un sous-groupe fermé commutatif de G, donc inclus dans un tore maximal de G. De fait :

• Tout élément d'un groupe de Lie compact appartient à un tore maximal.

[modifier] Propriétés

Tous les tores maximaux de G sont conjugués et en particulier ont même dimension k, appelée le rang du groupe de Lie G.

• Tout tore maximal est égal à son centralisateur.

Si un élément g commute avec tous les éléments d'un tore maximal T de G, le centralisateur C de g est un sous-groupe de Lie de G, contenant par choix de g le tore T. Il est clair que T est un tore maximal de C. L'élément g de C appartient à un tore maximal de C, donc est conjugué dans C à un élément de T. Comme g est dans le centre de C, g appartient à T. D'où le résultat.

• L'intersection des tores maximaux de G est exactement le centre de G.

Comme tout élément de G appartient à au moins un tore maximal, le centre de G est égal à l'intersection des centralisateurs des tores maximaux de G. Or, le centralisateur d'un tore maximal est lui-même ; le résultat en découle.

[modifier] Groupe de Weyl

Le normalisateur de T (dans G) est un sous-groupe fermé de G, et de fait, par le théorème de Cartan un sous-groupe de Lie de G. Le groupe de Weyl W(T) assocé à T est le quotient du normalisateur de T dans G par T. Il s'avère que T est la composante neutre de son normalisateur. De manière équivalente, W(T) est un groupe fini.

[modifier] Groupe de Lie semi-simples

Le rang d'un groupe de Lie semi-simple est égal au nombre de noeuds du diagramme de Dynkin associé.