Théorie d'Iwasawa
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La théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps des rationnels) à des extensions infinies de , par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies.
Sommaire |
[modifier] Généralités
La théorie d'Iwasawa s'occupe essentiellement des -extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini , pour p un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une -extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions telle que chaque Kn est galoisienne sur K de groupe de Galois .
[modifier] Exemple
- Pour chaque corps de nombres, une -extension particulière peut-être construite par adjonction de racines p-ièmes de l'unité : la -extension cyclotomique.
- Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet r2 + 1 -extensions linéairement indépendantes, où r2 est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois .
[modifier] Théorème fondamental
Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une -extension. Soit un nombre premier, un corps de nombres, et une -extension de . Pour chaque , on s'intéresse au cardinal du -Sylow du groupe des classes de ; notons le . Alors, il existe des entiers , (positifs), (de signe quelconque), tels que pour assez grand, on ait :
[modifier] Idée de la démonstration
Notons A(Kn) le p-Sylow du groupe des classes du corps Kn. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension Ln de Kn tel que : Ln est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de Kn. L'union des corps Ln fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de .
On considère alors le groupe de Galois :
- X est la limite projective des groupes Gal(Ln / Kn), qui apparaissent comme des quotients de X.
- X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de -module.
- Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de -module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.
L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir Gal(Ln / Kn), on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui founrit la formule annoncée sur A(Kn).
[modifier] Quelques résultats et conjectures
- L'invariant μ est nul pour la -extension cyclotomique au-dessus d'une extension abélienne de (théorème de Ferrero-Washington). Des exemples sont connus d'autres extensions où il n'est pas nul.
- L'invariant λ est connu par exemple pour les corps quadratiques imaginaires, par la formule de Kida. Il est conjecturé qu'il est nul pour les corps totalement réels, c'est la conjecture de Greenberg.
- La structure de module d'Iwasawa du groupe est relié dans certains cas à certaines fonctions L p-adiques, par la conjecture principale en théorie d'Iwasawa, devenue théorème de Mazur-Wiles.
[modifier] Bibliographie
(en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields [détail des éditions]
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