Théorème du point fixe de Schauder

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Le théorème de Schauder, prouvé en 1930 par le mathématicien polonais Juliusz Schauder est un puissant théorème du point fixe intervenant dans la démonstration de l'existence de solutions à une équation différentielle.

[modifier] Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$ , $\mathcal{C}$ une partie non vide de $E$ , symétrique, convexe, fermée et bornée.

Si $T$ est une application continue de $C$ dans $C$ telle que $T (C)$ soit relativement compact, alors $T$ a un point fixe

[modifier] Preuve

Notons $||\cdot||_E$ la norme de $E$ .

Soit $\varepsilon > 0$ . $T (C)$ étant une partie relativement compact de $C$ , il est précompact, on peut donc recouvrir $T (C)$ à l'aide d'un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$ . Autrement dit, il existe $N_\varepsilon$ un nombre entier, et $e_1^\varepsilon, \dots, e_{N_\varepsilon}^\varepsilon$ dans $C$ tels que :

$T(C) \subset \bigcup_{1 \leq i \leq N_\varepsilon} B_{E,||\cdot||_E}^{\prime} \Big( e_i^\varepsilon, \frac{\varepsilon}{2}\Big)$

On définit alors pour tout $i \in \{1, 2, \dots, N_{\varepsilon}\}$ l'application $π i,ε$ de $C$ dans $\mathbb{R}$ par :

$\forall e \in C, \pi_{i,\varepsilon} (e) = \max \Big(0, \varepsilon - ||T(e) - e_i^\varepsilon||_E\Big)$

Chacune de ces applications est bien continue. On définit alors l'application continue $T_\varepsilon$ par :

$\forall e \in C, T_\varepsilon(e) = \frac{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)e_i^\varepsilon}{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)}$

Tout d'abord, cette formule est bien définie, car le dénominateur n'est jamais nul. En effet, $T (e)$ est dans l'une des boules $B_{E,||\cdot||_E}^{\prime} \Big( e_i^\varepsilon, \frac{\varepsilon}{2}\Big)$ et donc pour ce $i$ , $\pi_{i,\varepsilon}(e) > 0$ .

Par ailleurs $\sup_{e \in C} ||T_\varepsilon(e) - T(e)||_E \leq \varepsilon$ . En effet, en notant $J = \{i \in \{1, \dots, N_\varepsilon \}, \pi_{i , \varepsilon}(e) \neq 0\}$ , on vérifie que si $i \in J$ , $\varepsilon - ||T(e) - e_i^\varepsilon||_E > 0$ et :

$||T_\varepsilon(e) - T(e)||_E \leq \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) \Big)^{-1} \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) ||e_i^\varepsilon - T(e)||_E\Big) \leq \varepsilon$

Posons alors $H_\varepsilon = C \cap (\mathbb{R}e_1^\varepsilon + \cdots + \mathbb{R}e_{N_\varepsilon}^\varepsilon)$ . La définition même de $T_\varepsilon$ nous assure que $T_\varepsilon(H_\varepsilon) \subset H_\varepsilon$ .

$H_\varepsilon$ est un sous-ensemble fermé, borné, convexe, symétrie, inclus dans le sous-espace $G = \textrm{vect} H_\varepsilon$ de dimension finie $P \leq N_\varepsilon$ . On peut donc extraire de $H_\varepsilon$ une base $(e_1, \dots, e_P)$ de $G$ . Supposons à présent que $H_\varepsilon$ contient plus de deux éléments. Alors $P \geq 1$ . Montrons que 0 est à l'intérieur de $H_\varepsilon$ , considéré en tant que partie de $G$ . Les normes sur $G$ étant équivalentes ( $G$ est de dimension finie), on peut considérer la norme $N$ définie par $N\Big(\sum_{1 \leq i \leq P} x_ie_i\Big) = \sum_{1 \leq i \leq P} |x_i|$ . Si $N(x) \leq 1$ , on peut écrire $x = \sum_{i=1}^P x_ie_i$ , où $\sum_{i=1}^P |x_i| \leq 1$ . Posons alors $x i = δ i | x i |$ , où $\delta_i = \pm 1$ , alors $x = \sum_{i=1}^P |x_i| (\delta_i e_i)$ , donc $x$ est barycentre convexe des $δ i e i$ qui sont dans $H_\varepsilon$ (on rappelle que $H_\varepsilon$ est symétrique et convexe). Il en résulte que $H_\varepsilon$ contient la boule pour $N$ de centre 0 et de rayon 1. 0 est bien à l'intérieur de $H_\varepsilon$

On définit l'application $ρ$ de $G$ dans $\mathbb{R}^+$ par la formule :

$\forall a \in G, \rho(a) = \inf \Big\{ \eta \in \R_+^*, \frac{1}{\eta} a \in H_\varepsilon \Big\}$

Tout d'abord, comme $0$ appartient à l'intérieur de $G$ , la fonction $ρ$ est bien définie. On montre (par un raisonnement fastidieux, mais non difficile) que c'est une norme pour $G$ , dont la boule unité n'est rien d'autre que $H_\varepsilon$ . Ainsi $H_\varepsilon$ est homéomorphe à la boule unité de $\mathbb{R}^P$ (dans le cas où $P = 0$ , c'est évident), et l'application directe du théorème du point fixe de Brouwer dit qu'il existe un vecteur $e_\varepsilon \in H_\varepsilon$ tel que $T_\varepsilon(e_\varepsilon) = e_\varepsilon$ .

On peut appliquer tout ce long raisonnement pour $\varepsilon = \frac{1}{n+1}$ , on dispose alors d'une suite d'éléments $(x n)$ de C tels que :

$T_{\frac{1}{n+1}}(x_n) = x_n$

D'autre part, on sait que $\Big|\Big| T_{\frac{1}{n+1}}(x_n) - x_n \Big|\Big| \leq \frac{1}{n+1}$ . Comme $T (C)$ est relativement compact, $\overline{T(C)}$ est compact, on peut extraire de $(T (x n))$ une sous-suite $(T σ(n))$ convergente. Notons $e$ sa limite, on a alors $\lim_{n \to \infty} T_{\frac{1}{\sigma(n+1)}}(x_{\sigma(n)}) = e$ donc $T (e) = e$ . $e$ est bien dans $C$ car $\overline{T(C)} \subset \overline{C} = C$ .

[modifier] Référence

Écoles normales supérieures. Sujet commun Paris-Lyon. 1999.

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