Théorème de récurrence de Poincaré

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Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

[modifier] Énoncé moderne

[modifier] Système dynamique

Soit un système dynamique au sens de la théorie ergodique, c’est-à-dire un triplet $(X,μ,φ)$ où :

$X$ est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.

$μ$ est une mesure sur $X$ ,

$\phi : X \to X$ est une application préservant la mesure $μ$ , c’est-à-dire telle que :

$\forall \ A \subset X \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)$

[modifier] Récurrence d'un point

Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x \in A$ est dit récurrent par rapport à A si et seulement s'il existe un entier $k \ge 1$ pour lequel :

$\phi^k(x) \ \in \ A$

[modifier] Théorème de récurrence de Poincaré

[modifier] Énoncé

Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable. Alors, presque tous les points $x_0 \in A$ sont récurrents par rapport à A.

[modifier] Démonstration

Pour tout p positif, on peut définir l'ensemble :

$U_p \ = \ \phi^p(A) \ \cup \ \phi^{p+1}(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=p}^{+\infty} \ \phi^k(A)$

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

$\mu(U_p) \ \le \ \mu(X) \ < \ + \ \infty$

Ces ensembles $U p$ sont tous des sous-ensembles de l'ensemble $U 0$ correspondant au cas particulier p = 0 :

$\forall \, p \, > \, 0, \quad U_p \ \subset \ U_0$

où :

$U_0 \ = \ A \ \cup \ \phi(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^k(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=0}^{+\infty} \ \phi^k(A)$

En remarquant qu'on peut écrire :

$U_0 \ = \ \phi^{- \, p}(U_p)$

on en déduit que :

$\mu(U_0) \ = \ \mu(\phi^{- \, p}(U_p)) \ = \ \mu(U_p)$

la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Les sous-ensembles $U p$ possèdent donc tous la même mesure que l'ensemble $U 0$ ; on en déduit que le complémentaire à $U p$ dans $U 0$ est de mesure nulle :

$\mu(U_0 \backslash U_p) \ = \ 0$

Comme $A \subset U_0$ , l'ensemble des points x de A qui ne retournent pas dans A après $k \ge p$ est donc de mesure nulle :

$\mu \left( \ \left\{ \ x \in A \quad \mathrm{et} \quad x \notin U_p \ \right\} \ \right) \ = \ 0$

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques^[1]. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire e.g. : June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).