Théorème de la médiane

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Le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, est une relation entre la longueur d'une médiane d'un triangle et la longueur de ses côtés.

Sommaire

1 Théorème de la médiane
- 1.1 Démonstration
- 1.2 Autre démonstration
2 Forme vectorielle du théorème de la médiane
3 Troisième théorème de la médiane
4 Généralisation du théorème de la médiane
5 Voir aussi

[modifier] Théorème de la médiane

Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,$

Ou encore : $AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2\,$

[modifier] Démonstration

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : Il suffit de faire intervenir le point I dans chacun des deux carrés :

$AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2$

On développe :

$AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}$

Le point I est milieu de [BC], donc $\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et $I C 2 = I B 2$ donc

$AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,$

[modifier] Autre démonstration

Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius (comme il ne connaissait pas la fonction scalaire de Leibniz) est la suivante:

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Nous avons BHA et AHC deux triangles rectangles; en y appliquant le théorème de Pythagore, on obtient:

$AB^2 = BH^2 + AH^2 \,$

$AC^2 = AH^2 + HC^2\,$

$AI^2 = IH^2 + AH^2\,$

On obtient donc:

$AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\,$

On exprime d'une nouvelle manière BH et HC en fonction de BI et IH (en gardant en tête que I est le milieu de BC et donc BI=IC). Notez aussi que dans ce cas en particulier, le pied H de la hauteur issue de A "atterrit" sur le segment [BI], autrement dit entre B et I, mais cela marche pour tous les cas:

$BH = BI - IH \,$

$HC = IC + IH = BI + IH\,$

On remplace maintenant dans l'expression précédente:

$AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \,$

$AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI.IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI.IH + IH^2\,$

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,$

Or, on sait que, d'après les triangles rectangle du départ:

$IH^2 + AH^2 = AI^2\,$

En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient:

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,$

[modifier] Forme vectorielle du théorème de la médiane

Soit I le milieu [BC], on a : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$

[modifier] Troisième théorème de la médiane

Avec le produit scalaire : $AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$ où le point H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

D'où la relation $\left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH$ (3^e théorème de la médiane).

En effet : $AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB}$

La projection de $\overrightarrow{AI}$ sur $\overrightarrow{BC}$ est $\overrightarrow{HI}$ d'où $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$ .