Théorème de la limite monotone

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Sommaire

1 Énoncé pour les fonctions
2 Énoncé pour les suites
3 Liens internes
4 Liens externes

[modifier] Énoncé pour les fonctions

Soient $\ ]a,\, b[$ un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante $\ f :\, ]a,\, b[\, \to \R$ . Alors :

la fonction admet en tout point $\ x_0$ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement $\ f(x_0+)$ et $\ f(x_0-)$ ; elles vérifient la double inégalité $\ f(x_0-) \leq f(x_0) \leq f(x_0+)$
la fonction admet à la borne de droite de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si $\ f$ est majorée, et dans le cas contraire est $\ +\infty$
la fonction admet à la borne de gauche de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si $\ f$ est minorée, et dans le cas contraire est $\ -\infty$

(théorème analogue pour les fonctions décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant $\ f$ par $\ -f$ ).

Démonstration

Montrons le résultat en b, les autres cas s'en déduisent immédiatement. Si $f\left(\left]a,b\right[\right)$ est majoré alors d'après la propriété de la borne supérieure il admet une borne supérieure qu'on notera $l$ . Par définition le la borne supérieure : $\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists\mu\in\left]a,b\right[,l-f\left(\mu\right)\leq\epsilon$ or $f$ est croissante donc pour $ε$ fixé et $μ$ donné $\forall b>x\geq\mu,l-f\left(x\right)\leq l-f\left(\mu\right)\leq\epsilon$ . Ce qui montre que $f$ admet $l$ pour limite en $b$