Théorème d'interversion série-intégrale

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[modifier] Théorème spécial

Soit (f_{n})_{n\in\mathbf{N}} : I \rightarrow\mathbf{C} une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On suppose que la série \sum_{n=1}^{\infty}\int_{I}\vert f_{n} \vert dx converge.

Alors la série \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} converge presque partout vers une fonction intégrable f\,,et

{\int_{I}fdx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}dx}

[modifier] une version élémentaire

Soit (f_{n})_{n\in\mathbf{N}} : I \rightarrow\mathbf{C} une suite de fonctions continues sur un intervalle I compact. On suppose qu'il existe des réels \alpha_n\, tels que \sup_{t\in I}\vert f_{n}(t)\vert \le \alpha_n, et que la série \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n converge. Alors la somme de la série de fonctions \sum_{n=1}^{\infty}f_n est une fonction continue f\,, et

{\int_{I}fdx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}dx}

[modifier] Liens internes