Théorème de Rouché

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Rouché est un énoncé important sur les zéros des fonctions holomorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Eugène Rouché. Il s'énonce de la manière suivante :

Théorème de Rouché —  Soient f et g des fonctions holomorphes non constantes sur un ouvert U \subset \C. Soit K un compact inclus dans U. Supposons que sur \partial K on ait:

| f(z) − g(z) | < | f(z) | + | g(z) | .

Alors f et g ont un même nombre de zéro dans K comptés avec leur multiplicité.

Démonstration

Sur \partial K la fonction méromorphe f / g ne peut pas être à valeurs réelles. Donc l'homotopie de f à g,

h(t,z) = (1 − t)f(z) + tg(z);

ne passe pas sur l'origine pour t\in[0,1] et z\in \partial K. Donc le nombre de circulation de f est égal à celui de g. Il en résulte que le nombre de zéros de f est égal au nombre de zéros de g.