Théorème de Noether (physique)

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Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ».

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Remarque
3 Applications
- 3.1 Symétries d'espace-temps, dites « externes »
- 3.2 Symétries internes
4 Articles connexes
5 Bibliographie
6 Lien externe

[modifier] Énoncé

À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Autrement dit :

Soit $q i (s)$ , un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre $s$ . Si le lagrangien $L$ est indépendant de $s$ , c'est-à-dire $L(q^{i(s)},\dot q^{i(s)},t)=L(q^i,\dot q^i,t)$ avec $q i (0) = q i$ , alors :

$I(q^i,\dot q^i)=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{dq^{i(s)}}{ds}\right|_{s=0}$ est une intégrale première c.à.d. $\frac{dI}{dt}=\frac{\partial I}{\partial t}+\{I,H\}=0$ .

[modifier] Démonstration

$\frac{dL}{ds}=\frac{\partial L}{\partial q^{i(s)}}\frac{dq^{i(s)}}{ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{d \dot q^{i(s)}}{ds}$

$\frac{dL}{ds}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{dq^{i(s)}}{ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{d}{dt}\frac{dq^{i(s)}}{ds}$ (en utilisant les équations d'Euler-Lagrange)

$\frac{dL}{ds}=\frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{d q^{i(s)}}{ds}\right|_{\forall\,s}\right)=0$

$\frac{dL}{ds}=\frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{dq^{i(s)}}{ds}\right|_{s=0}\right)=0$

[modifier] Remarque

Le théorème s'applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique.

[modifier] Applications

[modifier] Symétries d'espace-temps, dites « externes »

l'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie.

l'invariance par translation dans l'espace selon une direction $x i$ entraîne la conservation de la quantité de mouvement $p i$ dans la même direction.

l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire.

[modifier] Symétries internes

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[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

Nina Byers ; E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws, UCLA/98/TEP/20 (1998). Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/9807044.