Théorème de Frobenius

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En géométrie différentielle, le théorème de Frobenius est un théorème décrivant la structure de certaines formes différentielles possédant certaines propriétés.

[modifier] Formulation

Dans sa version moderne, le théorème de Frobenius peut s'exprimer ainsi :

Soient r formes linéaires ${\mathbf \sigma}^1, ..., {\mathbf \sigma}^r$ linéairement indépendantes en un point p d'une variété différentielle, et soient des formes ${\mathbf \tau}^A_B$ , A et B décrivant l'ensemble 1, ..., r, telles que

${\rm d} {\mathbf \sigma}^A = {\mathbf \tau}^A_B \wedge {\mathbf \sigma}^B$ ,

d désignant la dérivée extérieure et $\wedge$ le produit extérieur, alors il existe un voisinage ouvert de p dans lequel il existe des fonctions $f^A_B$ ,

h B

telles que pour tout A :

${\mathbf \sigma}^A = f^A_B {\rm d} h^B$ .

[modifier] Conséquence fondamentale

Dans le cas d'une seule forme, &sigma, le théorème de Frobenius stipule que

${\mathbf \sigma} \wedge {\rm d} {\mathbf \sigma} = 0$

est équivalent à dire que σ est de la forme

${\mathbf \sigma} = f {\rm d} h$ ,

c'est-à-dire que σ est proportionnelle à un gradient.

En terme de composantes, cette relation s'écrit :

σ [a, b σ c] = 0

équivalent à $\sigma = f \partial_a h$ .

Cette dernière relation est abondamment utilisée en relativité générale, où elle permet d'exhiber que certains champs de vecteurs sont parallèles à un gradient, et peuvent définir un feuilletage de la région considérée, correspondant aux hypersurfaces où la fonction dont on prend le gradient (ici notée h) prend une valeur constante.