Théorème de Brun

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Théorème démontrant la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux. Voir la constante de Brun.

[modifier] Note historique

Le mathématicien norvégien Viggo Brun restera dans les mémoires comme étant l'inventeur des méthodes modernes de cribles combinatoires. Entre 1917 et 1924, il inventera et perfectionnera cette théorie, dont le principe repose sur le crible d'Eratosthène. L'utilisation du principe d'inclusion-exclusion (appelé aussi en combinatoire inégalités de Bonferroni) permet de théoriser ce crible : si l'on pose (pour $x$ assez grand)

$P = \prod_{p \leq \sqrt x} p$ le produit des nombres premiers $p \leq \sqrt x$

alors une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier $n$ tel que $\sqrt x < n \leq x$ soit premier est que $p g c d (n, P) = 1$ .

Ainsi, si $π(x)$ désigne le nombre de nombres premiers $p \leq x$ et si l'on pose $e 1$ la fonction arithmétique valant 1 si $n = 1$ et 0 sinon, alors le crible d'Eratosthène s'écrit :

$\pi(x) - \pi(\sqrt{x}) + 1 = \sum_{n \leq x} e_1(pgcd(n,P))$ .

En utilisant la formule d'inversion de Möbius, il vient :

$\pi(x) - \pi(\sqrt{x}) + 1 = \sum_{d \mid P} \mu(d) \left [ \frac {x}{d} \right ]$ ,

où $[t]$ désigne la partie entière du réel t.

Comment estimer cette dernière somme ? A ce stade, si l'on utilise l'égalité évidente $[t] = t + O (1)$ , on obtient un terme d'erreur de $O(2^{\sqrt {x}})$ bien trop gros pour fournir des renseignements quant à la distribution des nombres premiers.

En fait, ce crible d'Eratosthène repose sur la formule d'inversion de Möbius qui s'écrit plus simplement $\sum_{d \mid n} \mu(d) = e_1(n)$ , formule trop "directe" pour être utilisable en pratique.

L'idée de Brun consiste à déterminer deux fonctions, notées disons $μ 1$ et $μ 2$ , de sorte que l'on ait

$\sum_{d \mid n} \mu_1(d) \leq e_1(n) \leq \sum_{d \mid n} \mu_2(d)$

et telles que ces fonctions s'annulent suffisamment souvent pour obtenir des termes d'erreurs exploitables.

La détermination de telles fonctions pose un problème délicat d'optimisation, et ce travail est toujours d'actualité aujourd'hui.

Brun a choisi les fonctions suivantes :

Si l'on note $1 t$ la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers $n$ tels que $\omega(n) \leq t$ (où $ω(n)$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de $n$ ), alors on peut prendre pour tout entier $m \geq 0$ :