Théorème d'Egoroff

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Le théorème d'Egoroff, nommé ainsi en hommage à Dimitri Egoroff, un phycisien et géomètre russe, établit une condition de convergence uniforme dans certains espaces mesurables. Ce théorème peut servir en particulier à montrer le théorème de Lusin pour les fonctions intégrables. Il s'agit en fait d'un résultat basique de théorie de l'intégration. Il permet en outre de donner une démonstration consise du théorème de convergence dominée.

[modifier] Enoncé

Soit $E$ un espace mesuré muni de sa tribu $Ω$ et de sa mesure $μ$ que l'on suppose finie (i.e. telle que $\scriptstyle\mu(E)<+\infty$ ). Soit $(f n)$ une suite de fonctions mesurables de $E$ à valeurs réelles convergeant $μ$ p.p. vers une fonction $f$ mesurable sur $E$ .

ALors, pour tout $ε > 0$ , il existe $\scriptstyle A \in \Omega$ tel que $μ(A) < ε$ et tel que $f n$ converge uniformément vers $f$ sur $E - A$ .

[modifier] Pourquoi supposer la mesure finie?

Considérons la suite de fonctions $(f n)$ suivante définie sur l'ensemble des réels munie de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue ( $χ$ désigne la fonction indicatrice d'un ensemble) :

$f_n(x)=\chi_{[n,n+1]} \quad \forall x \in \R$ .

Alors, $(f n)$ converge simplement sur l'ensemble des réels mais il n'existe aucun sous ensemble de la forme $\scriptstyle \R-B$ avec $B$ de mesure finie où la convergence est uniforme.

[modifier] Démonstration

On considère pour $\scriptstyle n,k\ge 1$ les ensembles :

$E_{k,n}=\bigcap_{j\ge n}\left\{x \in E : |f_i(x)-f(x)|\le \frac{1}{k}\right\}$ .

Pour tout $\scriptstyle k \ge 1$ , la suite $\scriptstyle (E_{k,n})$ est croissante (pour l'inclusion), donc :

$\mu (\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n})=lim_{n \to \infty}\mu(E_{k,n})$ .

De plus, comme la suite de fonctions $(f n)$ converge simplement $μ$ p.p. vers $f$ , on a, pour tout $\scriptstyle k \ge 1$ :

$\mu (\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n})=\mu(E)$ .

On fixe alors $\varepsilon>0$ . Grâce à la condition $\scriptstyle\mu(E)<+\infty$ , on peut trouver pour chaque $\scriptstyle k \ge 1$ un entier $n k$ positif tel que

$\mu(E_{k,n_k}\ge \mu(E)-2^{-k} \varepsilon$ .

Alors, l'ensemble

$A=\bigcup_{k \ge 1}(E-E_{k,n_k})$

convient.

[modifier] Autre formulation du théorème

Soit $E$ un espace métrique, séparable et localement compact, sur lequel on a une mesure $μ$ $σ$ -finie. Soit $f n$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $\mathbb R$ convergeant $μ$ p.p. vers une fonction $f$ mesurable.

Alors, pour tout $ε > 0$ et pour tout compact $K$ de $E$ , il existe un compact $K'$ inclus dans $K$ tel que $μ(K - K') < ε$ et tel que $f n$ converge uniformément vers $f$ sur $K'$ .