Discuter:Théorème de Ceva

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Sommaire

[modifier] 1 ou -1

À l'IP qui a changé 1 en -1. Attention, il ne faut pas se contenter de changer un signe + par un signe -, il faut vérifier la cohérence interne de l'article.

la relation de Céva ici est présentée sous une forme moins classique mais juste : au lieu de parler de la relation (DB/DC)x(EC/EA)x(FA/FB)=-1 (remettre les mesure algabrique), elle a été écrite sous la forme équivalente (BD/DC)x(CE/EA)x(AF/FB)= 1 (l'ordre des points dans 3 des termes change le signe de l'expression).

Concernant la formule sous la forme trigonométrique, il serait surprenant que le produit de termes tous positifs (sinus d'angle géométrique) puisse donner un résultat négatif. Mais du coup je doute de la formule sous forme trigo pour des points DEF non situés sur les segments [BC], [CA], {AB].. Je vais donc reverter les modifications et faire des recherches sur la forme trigonométrique du théorème de Céva. HB 5 août 2007 à 22:01 (CEST)

[modifier] Désaccord de pertinence

Je pose un bandeau de désaccord de pertinence sur cet article en attendant de pouvoir le modifier. En effet, le produit des rapport égale 1 n'est pas une CNS pour que les trois droites soient concourantes. C'est une CNS pour que les trois droites soient concourante ou parallèles. Tout l'article est construit sur l'idée que les droites ne sont pas parallèles ce qui serait le cas si ces droites étaient des céviennes (c-à-d passait par un sommet et coupait le segment opposé - non la droite opposé) mais dans ce cas, les mesures algébriques sont complètement superflues. Elles sont nécessaires si on cherche à quitter les segments mais alors il faut traiter le cas du parallélisme.

Le même problème se rencontre sous la forme trigonométrique qui n'est valable que pour des céviennes

Enfin, la démonstration n'est pas une véritable équivalence. les équivalences justes sont celles reliant l'appartenance du point M aux droites (AD), (BE) et (CF) par les trois égalités de rapports. Mais remplacer ces trois égalités par une seule (leur produit ) correspond à une implication (la réciproque est encore à faire). HB 6 août 2007 à 15:53 (CEST)

Bon, j'ai tenté une refonte qui serait à relire. HB 7 août 2007 à 15:14 (CEST)

[modifier] coquille

dans la 2eme partie de la demonstration du theoreme (dans l'enonce) la conclusion est: Le produit des trois rapports est bien égal à 1.

on cherchait a prouver que c'etait -1 non?

c'était une erreur de frappe. Merci d'avoir relevé. Erreur corrigée. HB 2 octobre 2007 à 22:18 (CEST)


[modifier] Les hauteurs ne sont pas des céviennes ?

D'après la définition proposée, une hauteur pourrait ne pas être une cévienne ... (je pense au cas d'un triangle obtusangle).

Le titre de la section est donnée pour différencier le cas général et le cas où le point est à l'intérieur du triangle. Selon l'université de St Andrews et le site Euler de l'académie de Versailles le théorème de Ceva concernait les cas de droites passant par un sommet et rencontrant le côté (segment) opposé avant d'être généralisé aux droites coupant les droites portant les côtés. L'université de Cambridge donne cette définition des ceviennes et le site de Serge Mehl précise explicitement qu'une hauteur peut ne pas être une cevienne. A contrario, ce site anglais et le très sérieux site mathworld acceptent que les ceviennes rencontrent les droites extérieurement au segment. Mon expérience m'a appris que les définitions ont le malheur de fluctuer selon les modes (surprenant en math n'est-ce pas ?). Si le titre de la section prête à polémique, on peut le remplacer par "cas où les droites coupent les segments" mais c'est moins joli. HB (d) 26 février 2008 à 13:21 (CET)

La preuve de cette section est peut-être inspirée (indirectement ?) de Coxeter et S.L. Greitzer, Redécouvrons la géometrie, (Geometry revisited). Le livre appelle cévienne un segment joignant un sommet à un point du côté opposé ... et signale dans le glossaire ("ou à son extension") : ça fait deux nouvelles variantes. Je propose de signaler les autres définitions dans une note, et de ne parler de cevienne que dans la démonstration, pas dans l'intro (et ajouter la référence à Coxeter et Greitzer).

Sinon l'article devrait parler de géométrie affine (les rapports de mesure algébrique c'est de la géométrie affine). Et pourquoi ne pas mettre la démonstration par les aires en premier (qui est la plus "élémentaire") ? Proz (d) 12 mars 2008 à 21:35 (CET)

La démonstration sur les aires avant? Pourquoi pas . Ne pas parler de Cevienne dans le titre? Bonne idée. Parler de géométrie affine ? avec prudence car dans le cas des segments intérieurs au triangle, la formule parle de distance, la démonstration parle d'aire : nous sommes dans une géométrie euclidienne. Il semble que le théorème de Ceva se décline sous trois formes : en géométrie euclidienne (distance, angle aire), en géométrie affine (droite parallèles ou concourantes , mesure algébrique), en géométrie projective avec synthèse des deux cas. HB (d) 23 mars 2008 à 11:44 (CET)

D'accord sur la prudence. Le problème avec l'article actuel, c'est qu'il donne un énoncé qui est naturellement en géométrie affine, ce qui n'est pas mentionné, alors qu'il annonce de la géométrie projective, mais l'énoncé n'est pas vraiment un énoncé projectif, même si on peut le traduire. Sinon l'aire d'un triangle, à condition de prendre une aire algébrique, et de la rapporter à un triangle de base est aussi une notion purement affine (c'est le déterminant).

Je propose le plan suivant (pas du tout de prétention à être complet) :

  • annoncer de façon concise le théorème en introduction comme un théorème de géométrie affine, version avec mesures algébriques (pour le lecteur qui veut juste l'énoncé) ;
  • une section géométrie euclidienne "élémentaire", avec l'énoncé "simplifié", la preuve par les aires, dessins explicatifs, la version avec sinus ;
  • une section géométrie affine, où on explique pourquoi c'est en fait de la géométrie affine, preuve par les barycentres, rapport avec Menelaus ;
  • Géométrie projective : explication de pourquoi on a envie que ce soit projectif ; il y a des énoncés utilisant les coordonnées homogènes ; on pourrait passer des rapports aux birapports, mais je ne suis pas sûr que ce soit intéressant, et je ne le vois pas dans les livres.

Si on veut un peu d'histoire : voir la version anglaise au sujet de Al-Mutaman ibn Hűd : j'ai parcouru l'article de J. B. Hogendijk qui ne donne aucun détail sur la preuve si ce n'est qu'elle est plus dans la tradition d'Euclide que celle de Ceva qui utilise selon l'auteur le "principe des leviers". Ce que semble confirmer (je ne lis pas le latin) http://books.google.fr/books?id=mCEOAAAAQAAJ&dq=intitle:De+intitle:lineis+intitle:rectis&lr=&as_brr=1 Il y est bien question de centre de gravité, de pondération (le th. de Ceva me semble être la prop II de la page 3, voir la table des figures I en fin de livre). Bref j'ai l'impression que c'est assez proche de la preuve par les barycentres. Ca suffit pour enlever l'indication actuelle de l'article. Mais il faudrait trouver des références au sujet du livre de Ceva pour en dire plus. Proz (d) 24 mars 2008 à 14:28 (CET)

Tu as l'air de savoir ce que tu veux faire de l'article. N'hésite pas à te lancer. HB (d) 24 mars 2008 à 18:30 (CET)

Pas tant que ça en fait, mais je ferai les modifs annoncées. Proz (d) 25 mars 2008 à 23:45 (CET)

[modifier] Géométrie projective

Je ne crois pas qu'il soit exact de dire que le théorème de Ceva est le dual de Menelaus. Les configurations oui, mais pour les rapports ... On a facilement un Ceva projectif en prenant des points sur la droite à l'infini et des birapports, qui contient d'ailleurs Menelaus, mais est-ce intéressant ? Rien à ce sujet dans les livres que j'ai consultés, certains donnent une version projective en coordonnées homogènes qui est plutôt une version affine sur le fond. Proz (d) 28 mars 2008 à 23:16 (CET)

je ne suis pas une spécialité de géométrie projective mais le fait que le théorème de Ceva est le dual de celui de Menelaüs est couramment cité (petit encyclopédie de mathématiques - Didier) ou même plus simplement Dualité (géométrie projective). Ce papier de Michel Coste peut se révéler intéressant. HB (d) 29 mars 2008 à 08:36 (CET)

Ce que dit Dualité (géométrie projective) est exact, ça ne parle que des configurations qui sont évidemment duales, c'est ce que disent aussi les livres que j'ai mis en biblio (que dit l'encyclopédie Didier exactement ?). Est-ce que ce n'est pas juste ça qui est couramment cité ? Merci pour le texte de Coste qui donne bien une façon de passer par dualité de Ceva à Ménélaüs. Mais si son Ceva projectif est bien le dual de la version projective de Ménélaüs, ce n'est pas la version projective de Ceva "naturelle". Quand tu projectivises Ceva avec des birapports (la même chose que ce que fait Coste pour Ménélaüs, avec une droite à l'infini), tu as me semble-t-il directement Ménélaüs, pour la droite "ex à l'infini", en prenant d'ailleurs comme lui l'isobarycentre du côté Ceva, et c'est un théorème autodual. Et puis c'est une leçon d'agreg, le but annoncé est d'illustrer la dualité, je ne sais pas s'il faut voir plus loin.

Je ne suis pas non plus spécialiste, il y a sûrement des choses qui m'échappent, il y a évidemment de la géométrie projective et de la dualité derrière les rapports entre Ceva et Ménélaüs (ce qui me convainc le plus, et qui est bien connu, est le passage de l'un à l'autre par polarité vis à vis de deux droites, voir division harmonique, on "reconnait" les deux théorèmes dans la figure du bas). Mais dire de but en blanc que les théorèmes sont duaux ça ne me semble au minimum littéralement pas très juste (voir justement ce que doit faire Coste, qui ne le dit pas d'ailleurs), et pas franchement éclairant. Pour les configurations par contre oui. Proz (d) 29 mars 2008 à 16:51 (CET)

Je suis si peu spécialiste de géométrie projective que j'ai laissé la section vide en ne citant que ce qui est communément admis que les configuration des deux théorèmes sont duales. L'encyclopedie Didier énonce que les théorèmes sont duaux mais se contente de montrer que les configurations sont duales. De même l'article Dualité (géométrie projective) précise « A toute configuration de points et de droites dans P correspond alors dans P * une configuration duale obtenue en échangeant les points et les droites, et de même, à tout théorème dans P, correspond un théorème dual. Voici quelques exemples : » et de citer Menelaüs et Ceva. Ne cherche pas à me convaincre, je ne suis pas assez compétente pour que cela ait de l'importance. N'hésite pas à parler à Pdebart (d · c · b) ou Michelbailly (d · c · b) qui sont actuellement peu actifs mais ont prouvé que ce type de géométrie les intéressait et prends tout seul la décision finale (au moins dire quand même que les configurations sont duales non ? c'est quand même intéressant ?). HB (d) 29 mars 2008 à 17:41 (CET)

Oui, je l'ai mis, mais pas dans ce paragraphe (dans celui sur Ménélaüs et Ceva). Pour le moment ça n'est qu'esquissé. Comme il s'agit juste de ne pas dire quelque chose, qui de plus ne peut être vrai stricto sensu, je crois qu'on peut en rester là pour le moment. Je maintiens que l'articleDualité (géométrie projective) ne cite que les configurations et pas les théorèmes (quand il y a des théorèmes, c'est précisé), mais c'est probablement ambigu. Proz (d) 29 mars 2008 à 23:05 (CET)