Taux d'amortissement

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Le taux d'amortissement est une grandeur sans dimension caractérisant l'évolution et la décroissance au cours du temps des oscillations d'un système physique. Il prend en compte notamment l'effet des frottements et la nature des matériaux, mais pour un matériau donné peut dépendre de la température. Le taux d'amortissement permet notamment de déterminer complètement la nature du régime transitoire du système.

[modifier] Cas de l'oscillateur harmonique amorti

Pour un oscillateur harmonique amorti, constitué d'une masse m, amorti par frottement fluide de coefficient c et souis à une force de rappel élastique de constante de raideur k, l'équation différentielle modélisant le comportement de l'oscillateur est :

$m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + k x = 0$

Il est possible de réécrire cette équation sous la forme canonique :

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \zeta \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$

où $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ est la pulsation propre de l'oscillateur harmonique et $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{k m}}$ est la taux d'amortissement.

On résout l'équation caractéristique associée :

$\omega^2 + 2 \zeta \omega_0 \omega + \omega_0^2 = 0$

D'où $\omega = \omega_0(- \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})$

Différents régimes

Périodique : si ω est purement imaginaire alors la solution est une sinusoïde la forme $e^{\pm j \omega_0 t}$ . Ceci correspond au cas d'un oscillateur harmonique. Il apparait pour le cas limite $ζ = 0$ .

Pseudo-périodique : si ω est complexe, alors la solution est le produit d'une exponentielle décroissante et d'une sinusoïde de la forme $e^{\omega_0(- \zeta \pm j \sqrt{1 - \zeta^2}) t}$ . Ce phénomène apparait pour $ζ < 1$ .

Apériodique critique : c'est la frontière entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est souvent la solution optimale à un problème d'oscillations amorties. Elle apparait pour le cas limite $ζ = 1$ .

Apériodique : si ω est réelle, alors la solution est simplement une exponentielle décroissante sans oscillation. Il apparait pour le cas $ζ > 1$ .