Discuter:Sous-groupe de Hall
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[modifier] Remarque superflue dans une démonstration ?
Voici l'énoncé et sa démonstration :
" Si H est un sous-groupe de Hall normal de G, il est caractéristique dans G.
Démonstration.
Soient 
l'ordre de 
, 
son indice dans 
et 
un élément de n'appartenant pas à (si un tel élément n'existe pas, c'est que 
). L'image 
de par l'homomorphisme canonique sur le quotient 
est distincte de l'élément neutre. Comme ce quotient est un groupe d'ordre premier avec , 
est donc lui aussi distinct de l'élément neutre et 
l'est donc aussi dans (son image étant ). Ainsi, est l'ensemble des solutions de l'équation 
et est donc caractéristique. "
En toute rigueur, la remarque "(si un tel élément n'existe pas, c'est que )" est inutile dans la démonstration : on ne choisit pas un tel élément x, on démontre une propriété qu'il doit avoir s'il existe.
Je supprimerais cette remarque mais je ne le ferai que si d'autres contributeurs sont d'accord avec moi.
(Je me suis permis de remplacer dans la démonstration "non nul" par "différent de l'élément neutre", puisqu'il est question d'un groupe noté multiplicativement.)
