Sinus cardinal

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La fonction sinus cardinal (définition 2).

Sommaire

1 Définitions
2 Propriétés
3 Utilisation et applications
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes

[modifier] Définitions

En mathématiques, la fonction sinus cardinal est définie par :

$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ (définition 1)

où $sin$ désigne la fonction sinus.

Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée :

$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ (définition 2)

En particulier, il s'agit de la représentation utilisée avec les logiciels GNU Octave et Matlab.

Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite $\operatorname{sinc}_1$ (resp. $\operatorname{sinc}_\pi$ ) la première (resp. la seconde) version de la fonction.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés élémentaires

La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en

$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$

un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est la dérivée du sinus en 0, égale à $cos(0) = 1$ .

Les zéros de la fonction sont atteints en $x = k\pi,\ k \in \mathbf{Z}^\star$ (première définition) ou $x = k,\ k \in \mathbf{Z}^\star$ (seconde définition)

Abscisses et valeurs des extrema
$x$	$\tfrac x\pi$	$\operatorname{sinc}(x)$	$\operatorname{sinc}^2(x)$	$20\log\|\operatorname{sinc}(x)\|$
0	0	1	1	0
4.493409	1.430297	-0.217234	0.047190	-13.261459
7.725252	2.459024	0.128375	0.016480	-17.830421
10.904122	3.470890	-0.091325	0.008340	-20.788187
14.066194	4.477409	0.070913	0.005029	-22.985427
17.220755	5.481537	-0.057972	0.003361	-24.735664
20.371303	6.484387	0.049030	0.002404	-26.190829
23.519452	7.486474	-0.042480	0.001805	-27.436388
26.666054	8.488069	0.037475	0.001404	-28.525278
29.811599	9.489327	-0.033525	0.001124	-29.492589
32.956389	10.490344	0.030329	0.000920	-30.362789
36.100622	11.491185	-0.027690	0.000767	-31.153625
39.244432	12.491891	0.025473	0.000649	-31.878380
42.387914	13.492492	-0.023585	0.000556	-32.547257

La valeur où le carré de $\operatorname{sinc}_1(x)$ vaut 0,5 est atteinte pour x = +/- 1.39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à -3 dB en puissance, de la fonction)

[modifier] Résultats de calcul infinitésimal

La fonction est développable en série entière sur la droite réelle

$\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!}$

De là vient que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur $\R$ . Il peut même être étendu en une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, en employant la formule précédente pour tout x complexe.

Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0

$\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt$

On démontre que l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \,\mathrm dx$ converge.

Démonstration

On effectue une intégration par parties, en choisissant convenablement la primitive, sur un segment [a,x] ne contenant pas 0

$\int_a^x \frac{\sin t}t \,\mathrm dt =\frac{1-\cos x }x-\frac {1-\cos a}a +\int_a^x \frac{1-\cos t}{t^2}\,\mathrm dt$

Il est possible de prendre la limite de ces différents termes lorsque a tend vers 0 puisque la fonction $\frac{1-\cos t}{t^2}$ se prolonge par continuité en 0. Ainsi

$\operatorname{Si}(x)=\frac{1-\cos x }x+\int_0^x \frac{1-\cos t}{t^2}\,\mathrm dt$

Le premier terme de cette somme a une limite nulle lorsque x tend vers l'infini. Dans le second, la fonction $\frac{1-\cos t}{t^2}$ est intégrable sur $\R^+$ . Finalement, l'intégrale du sinus cardinal existe sur $\R^+$ et vaut

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t \,\mathrm dt=\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t^2}\,\mathrm dt$

On peut prouver que cette intégrale a pour valeur

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t \,\mathrm dt=\frac{\pi }2$ .

Une des méthodes de calcul consiste à employer la transformée de Laplace.

Il existe aussi une deuxième convention pour le sinus intégral :

$\operatorname{Si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,\mathrm dt = \operatorname{Si}(x) - \frac{1}{2}\pi$

En revanche la fonctions sinus cardinal n'est pas intégrable sur $\R^+$ . On peut d'ailleurs donner l'estimée, pour X tendant vers l'infini

$\int_0^{X}\left|\frac{\sin t}t \right|\,\mathrm dt = \frac2\pi \ln X +O(1)$

Démonstration

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Ainsi $\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x \,\mathrm dx$ est une intégrale semi-convergente : c'est un exemple classique d'intégrale impropre.

[modifier] Transformée de Fourier

La transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:

$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}_\pi(t)e^{-2\pi i f t}\,\mathrm dt = \operatorname{rect}_1(f)$

où la fonction porte est définie de la manière suivante :

$\operatorname{rect}_\tau \left(t\right) = \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$ .

La transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:

$\mathcal F(\operatorname{rect}_\tau)(\omega) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm dt = \frac1{\sqrt{2\pi}}\tau \operatorname{sinc}_1 \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)$ .

[modifier] Utilisation et applications

Étant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en Traitement numérique du signal. En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, pour la diffraction par une fente, etc.

On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables).