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En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer dexu types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.

Une matrice $A$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ est dite semi-simple sur $\mathbb{K}$ si tout sous-espace invariant par $A$ possède un supplémentaire invariant par $A$ .

[modifier] Résultats généraux

La semis-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans $\mathbb{K}[X]$ .

En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de $A$ appartiennent à $\mathbb{K}$ , ceci se particularise en : $A$ est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.

Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps de caractéristique nulle ou tout corps fini), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.

Démonstration

Si le polynôme minimal M de A admet un carré P² comme diviseur, alors la matrice A n'est pas semi-simple. En effet, le sous-espace Im(P(A)) est dans ce cas un sous-espace stable, et, si S désigne un supplémentaire stable de ce sous-espace, alors $\frac{M}{P}(A)(S)\subset S\cap Im(P(A))$ d'une part par stabilité, et d'autre part, car P divise M/P. Il s'en suit que M/P est un polynôme annulateur de A, en contradiction avec la définition de polynôme minimal. Réciproquement, si le polynôme minimal M de A est sans facteur carré, que S désigne un sous-espace stable par A, alors le polynôme minimal N de A considéré en restriction à S est un diviseur de M. On vérifie alors que S est le noyau de N(A), et admet comme supplémentaire stable M/N(A).

Dans le cas d'un corps parfait, le polynôme minimal est sans facteur carré si et seulement s'il est séparable, c'est-à-dire qu'il se scinde en facteurs simples dans une clôture algébrique de $K$ . On reconnaît bien une caractérisation classique de la diagonalisabilité dans une clôture algébrique.

[modifier] Un exemple dans un corps non parfait

Soit $\mathbb{F}_2$ le corps à deux éléments, et soit $\mathbb{K}=\mathbb{F}_2(X^2)$ , le corps des fractions rationnelles en $X 2$ sur $\mathbb{F}_2$ . Définissons la matrice

$A=\begin{pmatrix} 0&X^2\\1&0 \end{pmatrix}.$

Le polynôme caractéristique de cette matrice est $χ(Y) = Y 2 - X 2$ . Ce polynôme est irréductible ; en effet, s'il était produit de deux facteurs non triviaux, ces deux facteurs seraient de degré $1$ , et on aurait donc des éléments $P, Q, R, S, p, q, r$ et $s$ de $\mathbb{K}$ tels que

$\left(\frac{p}{P}Y+\frac{q}{Q}\right)\left(\frac{r}{R}Y+\frac{s}{S}\right)=Y^2-X^2,$

avec $P, Q, R, S$ des polynômes en $X 2 = ξ$ non nuls. On tire des relations

$pr=PR, \quad PqrS=pQRs, \quad qs=X^2QS$

la condition

$ξ r (ξ) 2 S (ξ) 2 = R (ξ) 2 s (ξ) 2 .$

On ne peut choisir quatre polynômes différents de $0$ tels que cette relation ait lieu, puisque dans $\mathbb{K}$ , $ξ$ n'est pas un carré. Ni $R$ ni $S$ ne sont nuls, donc $r$ et $s$ doivent être simultanément nuls. Mais ceci contredit la relation $p r = P R$ , puisque ni $P$ ni $R$ ne sont nuls. On a donc montré que $χ$ est irréductible. Bien entendu, le polynôme minimal de $A$ est aussi irréductible, et sur $\mathbb{K}$ , $A$ est semi-simple.

Soit $\mathbb{L}=\mathbb{F}_2(X)$ ; dans $L$ , le polynôme $χ$ a la racine double $X$ , ce qui prouve que $\mathbb{L}$ est une extension algébrique de degré $2$ de $\mathbb{K}$ . Soit la base de $\mathbb{L}^2$ formée de