Série de Grandi

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La série 1 − 1 + 1 − 1 + …

ou

\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

est parfois appelée la série de Grandi, après le nom du mathématicien, philosophe et prêtre Guido Grandi, qui en donna une analyse célèbre en 1703. Il s'agit d'une série divergente, signifiant qu'elle n'a pas de somme dans le sens habituel du terme. Mais sa somme de Cesàro est 1⁄2

[modifier] Heuristiques

Une méthode évidente pour traiter la série est:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

est de la traiter donc comme une série télescopée et de faire les soustractions de cette manière:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Mais il est possible d'utiliser les parenthèses de manière similaire en obtenant un résultat apparemment contradictoire:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Ainsi, en appliquant les parenthèses à la série de Grandi de différentes manières, on peut obtenir les "valeurs" 0 ou 1 (des variations sur cette idée, appelé "Eilenberg-Mazur swindle", sont parfois utilisées en Théorie des nœuds ou algèbre).

En traitant la série de Grandi comme une série divergente géométrique, on peut utiliser les mêmes méthodes algébriques qui évaluent les séries convergentes géométriques pour obtenir une troisième valeur:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, donc
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S,

ayant pour résultat S = 1⁄2. On arrive à la même conclusion en calculant -S, soustrayant le résultat de S, et en résolvant 2S=1.

Les manipulations ci-dessus ne considère pas ce que la somme de la série signifie réellement. Cependant, à partir du moment qu'il est important de pouvoir mettre en parenthèse la série à volonté, et que c'est plus important de faire de l'arithmétique avec cette série, on peut arriver à deux conclusions :

  • La série 1 − 1 + 1 − 1 + … n'a pas de somme
  • ...mais sa somme peut être égale à 1⁄2.

De fait, les deux affirmations peuvent être précisées et prouvées, mais seulement en utilisant des concepts mathématiques bien définis qui furent développés au 19ème siècle. A la fin du 17ème siècle avec l'introduction du calcul infinitésimal, mais avant l'avènement de la réaction moderne, les tensions entre les réponses ont alimenté une dispute violente et sans fin entre mathématiciens.

[modifier] Divergence

En mathématique moderne, la somme d'une série infinie est définie comme étant la limite de la séquence de ses sommes partielles, si elle existe. La séquence des sommes partielles de la série de Grandi est 1, 0, 1, 0, …, ce qui n'approche clairement aucun nombre (même si cela aboutit à des valeurs d'adhérence de 0 et 1). Ainsi, la série de Grandi est divergente.

On peut montrer qu'il n'est pas valide de faire plusieurs opérations simples et répétitives sur une série, comme réordonner les chiffres individuels, sauf si la série est absolument convergente. Dans d'autres cas, ces opérations peuvent altérer le résultat d'une addition. Il est facile de voir comment les chiffres d'une série de Grandi peuvent être réordonnés pour arriver à un nombre entier, et pas seulement 0 ou 1.