Quantification semi-classique

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En physique, la quantification semi-classique est une procédure simplifiée permettant de quantifier - dans le cadre de la théorie des quanta - un système physique à partir de ses ingrédients classiques, notamment ses trajectoires. Michael Berry utilise à ce propos la formulation imagée : « mettre de la chair quantique sur un squelette classique ». Cette procédure simplifiée, qui n'utilise pas l'appareil mathématique complet de la mécanique quantique, est supposée valide dans le régime semi-classique.

La plus ancienne de ces procédures, concernant la quantification de l'atome d'hydrogène, est due à Bohr (1913), donnant lieu au célèbre « modèle de Bohr » à orbites circulaires. Cette procédure fût étendue par Sommerfeld afin d'inclure les orbites elliptiques.

Sommaire

[modifier] Quantification EBK d'un système intégrable

En 1917, Einstein généralisa à tout système intégrable conservatif la procédure de Bohr-Sommerfeld. La méthode générale d'Einstein fût précisée par Brillouin, puis Keller, donnant lieu à la quantification EBK.

Pour un système intégrable conservatif à N degrés de liberté, il existe en effet N variables d'action qui sont toutes des constantes du mouvement. Ainsi, la dynamique classique d'un système intégrable est elle restreinte à un tore invariant à N dimensions dans l'espace des phases, caractérisé par la valeurs des N actions.

La quantification EBK consiste à n'autoriser que des actions multiples entier (à une constante près) du quantum d'action ; si Ci est un contour fermé sur le tore invariant, on pose :

\int_{C_i} \vec{p} \cdot \vec{dq} \ = \ \left( n \ + \ \frac{\alpha_i}{4} \right) \ 2 \pi \hbar \ , \quad n \ = \ 1, 2, \dots

Les entiers positifs αi sont des indices de Maslov.

[modifier] Quantification d'un système non-intégrable

La méthode EBK ne s'applique que pour de systèmes intégrables. Lorsque le système n'est pas intégrable, a fortiori lorsque le système est chaotique, une procédure de quantification semi-classique de l'énergie du système est fournie par la formule des traces de Gutzwiller.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

[modifier] Vulgarisation

  • Lorenzo J. Curtis & David G. Ellis ; Use of the Einstein–Brillouin–Keller action quantization, American Journal of Physics 72 (12) (December 2004), 1521-1523.

[modifier] Ouvrages de référence

  • Martin C. Gutzwiller ; Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag (1990), ISBN 0-387-97173-4.
  • V. P. Maslov, Théorie des perturbations et methodes asymptotiques, Dunod (1972).

[modifier] Articles historiques

  • Albert Einstein ; Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 19 (1917), 82-92. Reproduit dans : The Collected Papers of Albert Einstein, A. Engel translator, Princeton University Press, 6 (1997), 434.
  • Joseph B. Keller ; Annals of Physics (NY) 4 (1958), 180.
  • Joseph B. Keller ; Annals of Physics (NY) 9 (1960), 24
  • Martin C. Gutzwiller ; Journal of Mathematical Physics 12 (1971), 343.