Potentiel vecteur du champ magnétique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le potentiel vecteur du champ magnétique n'est pas directement mesurable, mais sa variation dans un intervalle de temps traduit la présence de champ magnétique pendant cet intervalle.

En magnétostatique, on se borne à considérer un potentiel vecteur constant, ce qui conduit à considérer celui-ci comme un pur artifice de calcul, au demeurant fort utile.

Lorsqu'on étudie l'électromagnétisme en général, le potentiel scalaire $V$ et le potentiel vecteur $A$ , quoique non définis de manière univoque, ont un sens physique précis. Ainsi, si l'on déplace une charge électrique $q$ d'un point où le potentiel scalaire vaut $V 1$ à un point où il vaut $V 2$ , on a fourni à la particule une énergie $q (V 2 - V 1)$ ; si entre deux instants le potentiel-vecteur a varié en un point donné de $\mathbf{A}_1$ à $\mathbf{A}_2$ , on a fourni à la particule qui se trouvait en ce point une quantité de mouvement $q (\mathbf{A}_2 - \mathbf{A}_1)$ . Cette quantité de mouvement potentielle peut être directement mesurée par interférences quantiques au moyen de l'effet Aharonov-Bohm.

[modifier] Magnétostatique

[modifier] Existence du potentiel vecteur

Article détaillé : Équations de Maxwell.

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

$\mathrm{\mathrm div} \ \overrightarrow{ \mathrm{rot}} \ = \ 0$

Réciproquement, toute fonction dont la divergence est identiquement nulle peut être exprimée sous la forme d'un rotationnel.

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement^[1] un potentiel-vecteur $\overrightarrow{A}$ tel que :

$\overrightarrow{B} \ = \ \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{A}$

[modifier] Calcul du potentiel vecteur

A partir des formules de Biot et Savart en volumique, on a l'expression du champ magnétique :

$\overrightarrow{B(M)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint {\overrightarrow{j(P)} \wedge\frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}\mathrm d\tau } = -\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint {\overrightarrow{j(P)} \wedge\overrightarrow\operatorname{grad}_M\bigg(\frac{1}{PM}\bigg)\mathrm d\tau }$

Par ailleurs on sait que :

$\overrightarrow\operatorname{rot}_M\Bigg(\frac{\overrightarrow{j(P)}}{PM}\Bigg) = \frac{1}{PM}\overrightarrow\operatorname{rot}_M\Bigl(\overrightarrow{j(P)}\Bigr) - \overrightarrow{j(P)} \wedge\overrightarrow\operatorname{grad}_M\bigg(\frac{1}{PM}\bigg) = - \overrightarrow{j(P)} \wedge\overrightarrow\operatorname{grad}_M\bigg(\frac{1}{PM}\bigg)$

En utilisant cette relation nous exprimons à nouveau le champ magnétique :

$\overrightarrow{B(M)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint {\overrightarrow\operatorname{rot}_M\Bigg(\frac{\overrightarrow{j(P)}}{PM}\Bigg)\mathrm d\tau }$

Comme il n'existe aucun rapport entre le rotationnel et le champ, on peut dire que :

$\overrightarrow{B(M)} = \overrightarrow\operatorname{rot}_M\Bigg(\frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\overrightarrow{j(P)}\,\mathrm d\tau}{PM}\Bigg)$

D'où :

$\overrightarrow{A(M)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint \frac{\overrightarrow{j(P)}\,\mathrm d\tau}{PM}$

[modifier] Démonstration de l'aspect non univoque du potentiel vecteur

Soient $f$ une fonction dérivable quelconque et $\overrightarrow{A'}$ tel que $\overrightarrow{A'} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow\operatorname{grad}(f)$ . Les potentiels vecteurs $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{A'}$ décrivent le même champ magnétique. Démonstration : le rotationnel d'un gradient est nul, et l'on obtient l'égalité suivante :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\Big(\overrightarrow{A'}\Big) = \overrightarrow\operatorname{rot}\Bigl(\overrightarrow{A}\Bigr)$

[modifier] Expression du potentiel vecteur en surfacique

$\overrightarrow{A(M)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\iint \frac{\overrightarrow{j_s}\,\mathrm dS}{PM}$

[modifier] Expression du potentiel vecteur en linéique

$\overrightarrow{A(M)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint \frac{I(P)\,\overrightarrow{\mathrm dr} }{PM}$

[modifier] Cas général

En électromagnétisme, il est toujours possible de définir un potentiel vecteur $\mathbf{A}$ et un potentiel scalaire $V$ qui permettent d'écrire le champ magnétique et le champ électrique sous la forme

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ $\mathbf{E} = -\nabla V - \partial_t \mathbf{A}$

La définition de ces potentiels n'est pas univoque. Choisir une condition qui les rend univoque, c'est choisir une jauge. Deux jauges classiques sont la jauge de Lorenz $\tfrac{1}{c}\partial_t V + \nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ et la jauge de Coulomb $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ .