Jauge de Lorenz

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La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludvig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz probablement car celle-ci est invariante sous les transformations de Lorentz). L'introduction d'une équation de jauge permet de caractériser le potentiel vecteur A qui n'est pas défini de manière unique à partir du champ magnétique. Cette jauge particulière s'est avérée pratique et permet une description totalement relativiste de l'électrodynamique : le potentiel scalaire et le potentiel vecteur seront les composantes du quadri-vecteur potentiel.

L'équation est la suivante :

$\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0$

En statique elle s'écrit $\vec{\nabla}.\vec{A} = 0$ , on l'appelle alors jauge de Coulomb.

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell, on montre que la propagation des champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ dans le vide vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).

Dans cette jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire $V$ vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert.

Maxwell-Gauss dans le vide s'écrit : $\vec{\nabla}.\vec{E}=0$

or avec Maxwell-Faraday :

$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{A})$

donc $\vec{\nabla} \times (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \vec{0}$

donc $\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ est un gradient et donc pour être cohérent avec l'expression en statique $\vec{E}=- \vec{\nabla}V$ , il faut :

$\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

L'équation de Maxwell-Gauss devient alors :

$\vec{\nabla}.(- \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0$

donc $- \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}.\vec{A})-\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}V)=0$

Il faut donc poser $\vec{\nabla}.\vec{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}$ (c'est la jauge de Lorenz) pour avoir :

$\vec{\nabla}^{2}V-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=0$

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au champ $\vec{A}$ de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

$\vec{rot}(\vec{rot}\vec{A})=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}$

or $\vec{rot}\vec{A}=\vec{B}$

alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant $\vec{j}$ )est nul:

$\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}$

or on a toujours : $\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

donc $\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\vec{grad}(\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t})$

par conséquent avec la jauge de Lorenz $\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ , $\vec{A}$ de vérifie l'équation de d'Alembert :

$\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=0$

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ .