Plus petit commun multiple
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Le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM, de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b[1], ppcm(a,b), ou parfois simplement (a, b).
Le PPCM de a et b peut également se définir comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les multiples communs de a et de b.
La définition s'étend aux entiers relatifs. Sous la seconde forme, il faut alors ajouter qu'il doit être positif. La seconde forme de la définition se généralise en fait à un aanneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité, on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux factoriels.
Le PPCM peut se définir plus généralement pour un nombre quelconque d'éléments : par exemple dans les entiers naturels, le PPCM de n entiers est le plus petit entier multiple simultanément de ces n entiers.
Sommaire |
[modifier] Définition
Soient .
- Si a=0 ou b=0
- Si a et b sont non nuls on note
On vérifie alors que et (car )
Par axiome, min(ma,b) existe.
On définit .
[modifier] Calcul du PPCM
[modifier] A l'aide de la décomposition avec les nombres premiers
La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci. On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.
Exemple: prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers.On a :
60=2×2×3×5=2²×3×5
168=2×2×2×3×7=2³×3×7
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a alors PPCM(60, 168)=2³×3×5×7=840
[modifier] A l'aide du PGCD
Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou PGCD) de a et b,
qui s'écrit aussi
Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du PPCM
Exemple: avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60,168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 x 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0 .
PGCD(60,168) = 12. Donc 12 × PPCM(60;168) = 60×168, soit :
PPCM(60;168) = (60 × 168) / 12 = 840.
[modifier] Voir aussi
Opération binaire | ||||
---|---|---|---|---|
numérique | fonctionnelle | en ensemble ordonné | structurelle | |
+ addition div quotient euclidien |
∘ composition ∗ convolution |
∪ réunion |
× produit cartésien ⊕ somme directe ⊗ produit tensoriel |
∨ enracinement # somme connexe ∨ bouquet |
vectorielle | ||||
(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel |
||||
algébrique | ||||
[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur |
||||
homologique | ||||
∪ cup-produit • produit d'intersection |
séquentielle | |||
+ concaténation | ||||
logique booléenne | ||||
∧ ET (conjonction) | ∨ OU (disjonction) | ⊕ OU exclusif | ⇒ IMP (implication) | ⇔ EQV (coïncidence) |