Crochet de Lie
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article ou cette section ne cite pas suffisamment ses sources. (date inconnue)
Son contenu est donc sujet à caution. Wikipédia doit être fondée sur des sources fiables et indépendantes. Améliorez cet article en liant les informations à des sources, au moyen de notes de bas de page (voir les recommandations).
|
Le crochet de Lie est une loi de composition interne [,] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismes en constitue un des exemples les plus simples.
Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.
[modifier] Définition générale
Soit un espace vectoriel V sur un corps . Le crochet de Lie est une loi de composition interne sur V, vérifiant les propriétés suivantes :
- antisymétrie : ;
- bilinéarité, qui avec l'antisymétrie peut se résumer de la façon suivante : ;
- relation de Jacobi : .
Muni du crochet, l'espace vectoriel devient une algèbre de Lie.
[modifier] Crochet de Lie de deux champs de vecteurs
Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,
On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.
Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.
[modifier] Voir aussi
Opération binaire | ||||
---|---|---|---|---|
numérique | fonctionnelle | en ensemble ordonné | structurelle | |
+ addition div quotient euclidien |
∘ composition ∗ convolution |
∪ réunion |
× produit cartésien ⊕ somme directe ⊗ produit tensoriel |
∨ enracinement # somme connexe ∨ bouquet |
vectorielle | ||||
(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel |
||||
algébrique | ||||
[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur |
||||
homologique | ||||
∪ cup-produit • produit d'intersection |
séquentielle | |||
+ concaténation | ||||
logique booléenne | ||||
∧ ET (conjonction) | ∨ OU (disjonction) | ⊕ OU exclusif | ⇒ IMP (implication) | ⇔ EQV (coïncidence) |