Pendule elliptique

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Soit un pendule pesant composé dont le point de suspension H est libre de glisser sur un axe horizontal sans frottement. La théorie du pendule pesant composé permet de ramener le problème à un haltère avec une masse m en H et une autre masse M en C, centre de percussion relatif à H : un tel pendule s'appelle pendule elliptique .

Il y a, a priori, deux degrés de liberté : OH = x(t) et l'élongation de C, $θ(t)$ ; mais comme il n'y a aucune force externe horizontale, m .x(t) + M.l.sin $θ(t)$ = 0 (l := HC) en se plaçant dans le référentiel galiléen adéquat: le barycentre G du système décrit alors la verticale selon le mouvement z= -a.cos $θ(t)$ .

Le point G décrit une verticale, le point H une horizontale, le point C fixe sur cette barre rigide décrit une portion d'ellipse (théorème dit de la bande de papier de la Hire): d'où le nom : pendule elliptique.

[modifier] Petites oscillations

On sait que le problème complet du pendule simple est délicat.

Ici, ne sera traité que le problème des petites oscillations.

Le théorème du moment cinétique appliqué en H dans le référentiel R(H origine), à la masse située en C donne :

$Ml^2\ddot{\theta} = -Mgl \theta +Ml \ddot{x}$ ,

soit compte-tenu de la relation m.x + M.l. $θ$ =0,

d'où la période $T = 2\pi \sqrt {\frac{l(M+m)}{gm}}$

Remarque: ce problème est usuellement résolu par la méthode des équations de Lagrange, puisqu'il n'y a pas de frottement; on retrouve bien sûr les résultats précédents.

[modifier] Calcul des réactions, cas général

Si les oscillations ne sont pas petites, appliquer le théorème de l'énergie cinétique donne :

$(\dot{\theta})^2 = f(\theta) = \frac{2g(M+m)(h+cos\theta)}{l(M sin^2\theta + m)}$

donc $\ddot{\theta} = 2 \frac{df}{d\theta} = g$

On en tire aisément :

N = mg + T cos $θ$

avec T tension de la barre :

T = Ml.f +ml/2.g.tan $θ$ +Mg/cos $θ$

Bien sûr, selon la valeur des données initiales , reflétées par la valeur de h , il y aura comme pour le pendule simple , oscillattions ou tournoiement.

La quadrature donnant $θ$ (t)n'est clairement pas facile.