Pendule double
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[modifier] Présentation
Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur et , de masse nulle et deux masses et .
[modifier] Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne
L'énergie cinétique vaut :
où est l'angle par rapport à la verticale et la vitesse du pendule .
L'énergie potentielle vaut :
( étant l'altitude de la masse ), ou
.
Le lagrangien vaut donc :
, soit
En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1)
(2)
Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.
[modifier] Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne
L'affixe de l'extrémité du premier pendule est et celle de l'extrémité du deuxième : où .
L'accélération de cette dernière vaut donc .
La relation fondamentale de la dynamique en permet de dire que est colinéaire à , et que donc est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.
La relation fondamentale de la dynamique en s'écrit où est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur et celle de la deuxième tige agissant sur .
étant colinéaire à , l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de donne l'équation (1).
[modifier] Pendule à entraînement circulaire uniforme
Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors et l'équation différentielle du mouvement, isssue de (2), s'écrit, en posant :
.
Pour de petites oscillations et , l'équation se linéarise en et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :
Mais si dans ce cas on choisit , on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :
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