Nombre de Bell

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En mathématiques, les nombres de Bell, qui portent le nom de Eric Temple Bell, se rencontrent souvent en combinatoire. Ces nombres forment une suite d'entiers qui commence ainsi:

B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots

(suite A000110 dans l'encyclopédie électronique des suites entières)

En général, Bn est le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal n. (B0 est égal à 1 parce qu'il y a exactement une partition de l'ensemble vide. Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.) Chaque partie d'une partition de l'ensemble vide est une partie de l'ensemble vide donc est vide, et leur réunion est égale à l'ensemble vide. Donc, le singleton contenant ensemble vide est la seule partition de l'ensemble vide.

Les nombres de Bell satisfont la formule de récurrence :

B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} B_k;

où {n \choose k} est un coefficient binomial.

Ils satisfont aussi à la formule de Dobinski :

B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\mod p.

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

B_n=\sum_{k=1}^n S (n, k).

La série génératrice exponentielle des nombres de Bell est

e^{(e^x-1)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_nx^n}{n!}=1+x+2 \frac{x^2}{2!}+5 \frac{x^3}{3!} + 15 \frac{x^4}{4!} + \dots