Méthode du gradient biconjugué
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En mathématiques, plus spécifiquement en analyse numérique, la méthode du gradient biconjugué est un algorithme permettant de résoudre un système d'équations linéaires
Contrairement à la méthode du gradient conjugué, cet algorithme ne nécessite pas que la matrice A soit auto-adjointe, en revanche, la méthode requiert des multiplications par la matrice adjointe A * .
[modifier] L'algorithme
- Choisir x0, y0, un préconditionneur régulier M (on utilise fréquemment M − 1 = 1) et c;
- ;
- ;
- for do
- ;
- ;
- , (rk = b − Axk and sk = c − A * yk are the residuums);
- ;
- , .
[modifier] Discussion
La méthode est numériquement instable, mais très importante du point de vue théorique: on définit les itération par et (j < k) en utilisant les projections suivantes:
- ,
Avec et . On peut irérer les projections elles-même, comme
- .
Les nouvelles directions de descente et sont alors orthogonales aux résidus: et , qui satisfont aux-même et (i,j < k).
La méthode du gradient biconjugué propose alors le choix suivant:
- uk: = M − 1rk et vk: = M − * sk.
Ce choix particulier permet alors d'éviter une évaluation directe de Pk et A − 1, et donc augmented la vitesse d'execution de l'algorithme.
[modifier] Propriétés
- Si A = A * est auto-adjointe, y0 = x0 et c = b, donc rk = sk, dk = fk, et la méthode du gradient conjugué produit la même suite xk = yk.
- En dimensions finies xn = A − 1b, au plus tard quand Pn = 1: La méthode du gradient biconjugué rend la solution exacte après avoir parcouru tout l'espace et est donc une méthode directe.
- La suite produite par l'algorithme est biorthogonale: et pour .
- SI pj' est un polynôme avec , alors . L'algorithme est donc composé de projections sur des espaces de Krylov;
- SI pi' est un polynôme avec , alors .