Méthode de Rietveld

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La méthode de Rietveld est une méthode d'analyse en diffractométrie de rayons X sur poudre. Elle fût développée en 1969 par le cristallographe néerlandais Hugo Rietveld.

Cette méthode consiste à simuler un diffractogramme à partir d'un modèle cristallographique de l'échantillon, puis d'ajuster les paramètres de ce modèle afin que le diffractogramme simulé soit le plus proche possible du diffractogramme mesuré. Selon les propriétés auxquelles on s'intéresse et le nombre de paramètres à affiner, le logiciel peut être plus ou moins complexe.

[modifier] Description de la méthode

[modifier] Position et surface des pics

La base de la méthode est la théorie de la diffraction sur un cristal. Si l'on connaît :

la structure du cristal,
la nature et la position des atomes au sein de la maille
les facteurs de diffusion atomique (coefficient de diffusion de Rayleigh des rayons X sur les atomes) ;
les coefficients d'absorption ;

alors on est capable de déterminer la position des pics de diffraction, ainsi que leur surface à un facteur près (ce facteur dépendant de la puissance de la source de rayonnement, du rendement du détecteur…).

Il faut aussi éventuellement prendre en compte l'orientation préférentielle (texture).

[modifier] Forme des pics

Pour simuler la forme de chaque pic, on peut recourir à une fonction mathématique a priori, sans signification particulière, par exemple une fonction gaussienne, ou mieux une pseudo fonction de Voigt ou une fonction de Pearson VII, et affiner sa largeur H. On a donc autant de largeurs à affiner que de pics. Cependant, on sait que la largeur suit une loi dépendant de la position 2θ du pic, on peut donc lier les largeurs des pics appartenant à une même phase par cette loi et affiner les paramètre de la loi. La loi typique pour la diffractométrie X est

$H(2\theta) = H_0 + \frac{H_1}{\cos \theta} + H_2 \cdot \tan \theta$

pour de la diffraction de neutrons, on utilise en général la loi de Cagliotti (1958) :

$H(2\theta) = \sqrt{U \cdot \tan^2 \theta + V \cdot \tan \theta + W}$

on n'a donc que trois paramètres de largeur à affiner par phase, quel que soit le nombre de pics.

On peut aussi déterminer la forme des pics à partir des loi de l'optique géométrique appliquée à la configuration du diffractomètre.

Voir l'article détaillé Forme d'un pic de diffraction.

[modifier] Algorithme

L'algorithme d'ajustement de paramètres, appelé fitting en anglais, utilisé est un algorithme visant à minimiser l'écart quadratique entre la courbe simulée et la courbe expérimentale ; on parle d'algorithme de minimisation de l'erreur.

Article détaillé : Ajustement de profil.

On utilise en général le facteur de fiabilité pondérée (weighted reliability factor) R_wp :

$R_{wp} = \sqrt{ \frac{\sum_i w_i \cdot (I_i^{exp}-I_i^{cal})^2} {\sum_i w_i \cdot {I_i^{exp}}^2} }$

où w_i est le poids attribué au point i, qui vaut 1/I_i^exp.

Si la simulation était parfaite, le facteur de fiabilité aurait une valeur dépendant du rapport signal sur bruit. Si la source de rayonnement est un tube à rayons X, on sait que le bruit suit une loi de Poisson : son écart type est égal à la racine carrée du nombre de coups cumulé à chaque point. On peut ainsi définir un facteur de fiabilité minimal R₀. La fonction R_wp/R₀ doit normalement tendre vers 1.

[modifier] Applications

[modifier] Quantification sans étalon

Avec cette méthode, on peut simuler un mélange de plusieurs phases. La proportion de chaque phase étant un des paramètres à affiner, la méthode de Rietveld permet donc de faire de la quantification.

Cette méthode est dite « sans étalon » car, contrairement aux méthodes quantitatives classiques, il est inutile d'étalonner l'appareil en passant des échantillons de composition connue.

Cette méthode est particulièrement intéressante lorsque les phases ont des pics proches avec de nombreuses superpositions. Par contre, contrairement à une méthode quantitative classique (basée sur la surface ou la hauteur de quelques pics par phase), la méthode de Rietveld impose une mesure sur une grande plage angulaire (typiquement de 20 à 90 °) et avec un bon rapport signal sur bruit, donc un temps d'acquisition relativement long (plusieurs dizaines de minutes à plusieurs heures selon le rapport signal sur bruit).

[modifier] Détermination et affinement de structure

On peut utiliser la méthode de Rietveld pour déterminer la structure d'un cristal ; c'est une méthode alternative aux clichés de Laue sur des monocristaux.

La première étape consiste à déterminer la symétrie du cristal à partir de la position des pics : le réseau de Bravais puis le groupe d'espace. Il existe des programmes dédiés qui procèdent en général par essai-erreur : le programme passe en revue les différents groupes d'espace possible et détermine le groupe d'espace qui correspond le mieux. On détermine également les paramètres da maille. Cette étape est appelée indexation, chaque pic du diffractogramme étant alors associé à un plan cristallographique d'indices de Miller (hkl).

La méthode de Rietveld est ensuite utilisée pour déterminer la position de chaque atome au sein de la maille. Pour aider le programme à converger, on peut indiquer des contraintes :

forcer la position de certains atomes, avec une tolérance ;
forcer des atomes à rester groupés comme des sortes de molécules, on parle de « corps rigides » (rigid body).

Dans la méthode dite du recuit simulé (simulated annealing), on place les atomes au hasard puis on laisse l'algorithme converger ; on refait cette opération plusieurs fois et l'on choisit la solution donnant le plus faible facteur de fiabilité.