Méthode de Bessel

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La méthode de Bessel est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille convergente.

Sommaire

1 Principe
2 Explication
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Liens externes

[modifier] Principe

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule:

$f'=\frac{D^2-d^2}{4.D}$

Schéma animé sur la méthode de Bessel

[modifier] Explication

[modifier] Formules de conjugaison

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

$\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'}$

On suppose que A' est réelle (c’est-à-dire projetable sur un écran): $\overline{OA'}>0$ .

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance $\overline{OA}<-f'$ .

[modifier] Formation d'une image réelle à partir d'un objet réel

On fixe $D=\overline{AA'}$ , la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose $x=\overline{OA}$ et $y=\overline{OA'}$ , donc

$D=\overline{AA'}=\overline{OA'}-\overline{OA} \Rightarrow y=D+x$ .

Les relations de conjugaison se réécrivent:

$\frac{1}{y}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{x} \Rightarrow y=\frac{f'.x}{f'+x}$ .

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second ordre en x: $x 2 + D . x + f'. D = 0$

Cette équation n'a de solution réelle que si $\Delta = D^2-4.f^{'}.D=D.\left( D-4.f'\right)\geq 0$

Aussi, il faut que $D\geq D_{min} = 4.f'$

[modifier] Positions respectives de l'image et de l'objet

Si $D > D m i n$ , alors $Δ > 0$ : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer c et A').

Les solutions sont: $x_{\pm }=\frac{-D\pm \sqrt{D^2-4.f^{'}.D}}{2}$ . Aussi, ces deux positions possibles de l'objet sont éloignées de $\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}$ .

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A': $d=\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}$ .