Loi logistique

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**Loi logistique**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$\mu\,$ réel $s> 0\,$ réel
Support	$x \in ]- \infty ,+ \infty[$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!$
Fonction de répartition	$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!$
Espérance	$\mu\,$
Médiane (centre)	$\mu\,$
Mode	$\mu\,$
Variance	$\frac{\pi^2}{3} s^2\!$
Asymétrie (skewness)	$0\,$
Kurtosis (non-normalisé)	$6/5\,$
Entropie	$\ln(s)+2\,$
Fonction génératrice des moments	$e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!$ for $\|s\,t\|<1\!$ , Fonction Beta
Fonction caractéristique	$e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,$ for $\|ist\|<1\,$

En probabilité, la loi logistique de paramètre μ et s > 0 est une loi de probabilité dont la densité est

$f(x) = \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}$

Sa fonction de répartition est

$F(x) = \frac{1}{1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}}$

Son nom de loi logistique est issu du fait que sa densité de probabilité est une fonction logistique Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

$E(X) = \mu\,$