Loi log-normale

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**Loi Log-normale**
Densité de probabilité / Fonction de masse μ=0
Fonction de répartition μ=0
Paramètres	$σ > 0$ $-\infty < \mu < \infty$
Support	$[0; +\infty)\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$
Fonction de répartition	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
Espérance	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
Médiane (centre)	$e μ$
Mode	$e^{\mu-\sigma^2}$
Variance	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
Asymétrie (skewness)	$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{e^{6\sigma^2}-4e^{3\sigma^2}+6e^{\sigma^2}-3}{e^{4\mu+2\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)^4}$
Entropie	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En probabilité et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres $μ$ et $σ$ si la variable Y= $l n (X)$ suit une loi normale de paramètres $μ$ et $σ$ .

Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants.

Sommaire

1 Caractérisation

[modifier] Caractérisation

[modifier] Densité

La loi log-normale de paramètres $μ$ et $σ$ admet pour densité

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{e^{-(\ln x - \mu)^2/(2\sigma^2)}}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}$

pour $x > 0$ . $μ$ et $σ$ sont la moyenne and l'écart type du logarithme de la variable (puisque par définition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale de moyenne $μ$ et d'écart-type $σ$ ).